3.1.1 变化率问题教学目标

平均变化率教学设计

株洲市四中 李光耀

一．内容与内容解析

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，导数概念是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。

以气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题为背景，引出平均变化率的概念。设函数f(x)在上(x1,x2)有定义，则

则称为函数从x1到x2的平均变化率。记 （自变量 的增量）， （函数的增量），则平均变化率可表示为 。本质是对应函数的增量与自变量的增量的比值；表示函数在某一范围内平均的变化趋势（增减）和快慢程度。

二．目标和目标解析

1．通过实例分析、了解函数平均变化率的意义．

2．会求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．

3．掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率的方法与步骤．

三、重难点分析

1．求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．(重点) 2．理解实际问题中的平均变化率．(难点) 四．教学问题诊断分析

学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在一年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．

但是由于新教材是以模块的形式进行展开教学的，文科学生选修这一系列。文科学生的数学一直都是弱项，他们的感性思维比较强，理性思维比较弱，如果没有掌握好概念性的问题，他们极容易在解题时钻牛角尖，因此若能让学生主动参与到平均变化率学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，就会激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。

五．教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，可以借助计算机辅助教学，实现信息技术与课堂整合来增加课堂上知识之间的交互性，提高课堂教学效果。

六．教学设计

（一）．自学导引

1、函数的变化率的定义

先让学生阅读教材，教师提出阅读目标，5分钟后，教师利用做好的ppt课件演示出幻灯片：函数平均变化率的定义

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f（x2）－f（x1），习惯上用Δx表示x2－x1，即Δxx1－x2＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，ΔyΔy＝f(x2)－f(x1)，于是平均变化率可以表示为. ΔxΔyf（x2）－f（x1）f（x1＋Δx）－f（x1）即＝＝称为函数在区间[x1，x2]上的平均变化率．

Δxx2－x1Δx2．接着引导学生归纳出求平均变化率一般步骤：（同时教师出示幻灯片）

平均变化率的计算公式

自变量的改变量Δx＝x2－x1

↓

函数的改变量Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1) ＝f(x0＋Δx)－f(x0) ↓

Δyy2－y1f（x2）－f（x1）f（x0＋Δx）－f（x0）＝＝＝

Δxx2－x1x2－x1Δx多媒体的运用使得课堂节奏更紧凑，也留给了学生的充分思维空间！

接着教师提出问题：

想一想：1.函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率为0，能否说明函数y＝f(x)没有发生变化？

提示

不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x在[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)的图象在[－2，2]上先减后增．

接着教师继续提问：

Δyf（x0＋Δx）－f（x0）2．平均变化率＝中，Δx、Δy的值是否可为任意实数？

ΔxΔx提示

否．Δx、Δy的值可正、可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0. 2

3．理解平均变化率要注意以下几点：

(1)平均变化率f（x1）－f（x0）表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡x1－x0峭程度的“数量化”．

(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为f（x0＋Δx）－f（x0）的形式．

Δx(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．

（二）、课堂讲练互动

题型一

求平均变化率

充分利用现代信息技术手段，来提高课堂教学效果，所以下面的例题和变式练习都以幻灯片的方式给出，这样既节约了时间，又解决了板书问题，还给学生留下了充分的思考时间，真是一举多得！

【例1】

求函数y＝f(x)＝3x＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δ2x＝0.1时平均变化率的值．

[思路探索] 解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求解．

规律方法

求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：

(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；

(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；

Δyf（x1）－f（x0）(3)得平均变化率＝. Δxx1－x01【变式1】

在例1中，分别求函数在x0＝1，2，3附近Δx取时的平均变化率k1，k2，k3，2并比较其大小．

解

由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx. 1当x0＝1，Δx＝时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；

21当x0＝2，Δx＝时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；

2

题型二

求物体运动的平均速度

12【例2】

以初速度v0竖直向上抛一物体的位移s与时间t的关系为：s(t)＝v0t－gt. 2(1)求物体从时刻t0到时刻t0＋Δt这段时间的平均速度v；

(2)求物体在t＝10 s到10.4 s这段时间的平均速度．

[思路探索] 由物体运动方程→写出位移变化量Δs→Δs

Δt【题后反思】

平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称．如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨胀率，它是半径增量与体积增量的比．函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念．

【变式2】

动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中

(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1，(3)Δt＝0.01. 解

动点在20≤t≤20＋Δt时间段内的平均速度为

10（20＋Δt）＋5（20＋Δt）－10×20－5×20＝

Δt210Δt＋5（Δt）＝＝5Δt＋210，

Δt(1)当Δt＝1时，v＝5×1＋210＝215(m/s) (2)当Δt＝0.1时，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s) (3)当Δt＝0.01时，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．

三、作业

1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率中，Δx不可能是(

)．

A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．大于0或小于0 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是(

)．

A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 23．一个作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t，则物体在t＝0到t＝2之间的平均速度为________．

4．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率；

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