24.1 圆教案教学设计

24.1.1

圆

学习目标：

【知识与技能】

理解圆的定义及弧、弦、半圆、直径等相关概念。

【过程与方法】

经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程，养成自主探究、合作交流的良好习惯。

【情感、态度与价值观】

利用我国悠久的数学研究历史，对学生进行爱国主义熏陶；通过圆的完美性，让学生进行美的体验。

【重点】

B与圆有关的概念

【难点】

O圆的概念的理解

学习过程: 一、自主学习

（一）复习巩固

1、举出生活中的圆的例子 2、圆既是 对称图形，又是 对称图形。

3、圆的周长公式C= 圆的面积公式S=

（二）自主探究

1、圆的定义○1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ，另一个端点所形成的图形叫做 ．固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 ．以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“ ”

决定圆的位置， 决定圆的大小。

圆的定义○2：圆可以看作所有到 的距离等于 的点的集合．

CA

2、弦：连接圆上任意两点的 叫做弦

直径：经过圆心的 叫做直径

3、弧： 任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧

半圆：圆的任意一条 的两个端点把圆分成两条弧，每一条 都叫做半圆

优弧： 半圆的弧叫做优弧。用 个点表示，如图中 叫做优弧

劣弧： 半圆的弧叫做劣弧。用 个点表示，如图中 叫做劣弧

等圆：能够 的两个圆叫做等圆

等弧：能够 的弧叫做等弧

4、

如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？

5、

已知：如图，在⊙O中，AB，CD为直径

求证：AD//BC

AODCB（三）、归纳总结：

1、圆的集合定义（集合的观点）

（1）思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？ （2）圆的内部是到 的点的集合；

圆的外部是 的点的集合

。

（四）自我尝试：

1、如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由。

2、你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以很清楚的看出树木生长的年轮。把树木的年轮看成是圆形的，如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，这棵红杉树的半径平均每年增加多少?

24.1.2

垂直于弦的直径

学习目标：

【知识与技能】

1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论

2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题

3了解拱高、弦心距等概念

【过程与方法】

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法

【情感、态度与价值观】

在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的新意识，良好的运用数学

【重点】 【难点】

垂径定理及其推论

垂径定理及其推论

学习过程: 一、自主学习

（一）复习巩固

判断：

1、直径是弦，弦是直径。 （ ） 2、半圆是弧，弧是半圆。 （ ）

3、周长相等的两个圆是等圆。 （ ） 4、长度相等的两条弧是等弧。 （ ）

5、同一条弦所对的两条弧是等弧。（ ） 6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。（ ）

7、请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；

______________________________ 叫做直径. 8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法. 弧: 半圆：_________________________优弧：_____________表示方法： 劣弧：_____________________________表示方法： 9、同心圆: _______________等圆: _______________________ 10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _____________________

（二）自主探究

请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

圆是

对称图形，其对称轴是任意一条过

的直线．

CAMOBD

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？

相等的线段：

相等的弧：

这样，我们就得到垂径定理：

垂直于

的直径平分弦，并且平分弦所对的两条

．

表达式：

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M

求证：AM=BM，弧AC=BC，弧AD=BD.

分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、•OB或AC、BC即可．

C证明：如图，连结OA、OB，则

BAOA=OB M∵

O

∴AM=

∴点

和点

关于CD对称

D

∵⊙O关于CD对称

∴当圆沿着直线CD对折时，

点A与点B重合，弧AC与BC重合，AD与CD重合．

∴

，

，

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦（

）的直径垂直于

，并且平分弦所对的两条

．

表达式：

（三）、归纳总结：

1．圆是

图形，任何一条

所在直线都是它的对称轴．

2．垂径定理

推论

．

（四）自我尝试：

1、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？

A

C

E

R

D

B

24.1.3

弧、弦、圆心角

学习目标：

【知识与技能】

1理解圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算

2弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据

【过程与方法】

经历探索发现圆的旋转不变性，证明圆心角、弦、弧之间的关系

【情感、态度与价值观】

学生通在探索圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间关系过程中体验其成立的喜悦

【重点】 【难点】

弧、弦、圆心角之间的相等关系

定理的证明

学习过程: 一、自主学习

（一）复习巩固

（1）圆是轴 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴． （2）垂径定理 推论 （二）自主探究

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 ．

B

BA'

AA

B'

OO

请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角

∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

相等的弦： ；相等的弧：

结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ．

表达式： 同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的弦也

表达式： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角________，•所对的_______也相等．

表达式： 注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。

（三）、归纳总结：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ．

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的弦也 ．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，•所对的 也相等．

（四）自我尝试：

⌒

⌒

∠ACB

=60 °，

1、如图，在⊙O中，AB=ACA求证∠AOB=∠BOC=∠AOC

O

CB

2、如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

（1）如果AB=CD，那么 ， ⌒

⌒，那么

（2）如果AB=CD ， （3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， （4）如果AB=CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE与OF相等吗？为什么？

C

A

F

E

OD

B

⌒

⌒

⌒

3、如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35 °，求∠AOE的度数。

D

ECAOB

24.1.4圆周角（1）

学习目标

1.了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论。

2.结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论化归的思想方法。

3.激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活。

学习重点：圆周角定理。

学习难点：分情况证明圆周角定理。

C 一、了解圆周角的概念：（学生自学完成）

问题1：如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点？

O

A

二、探索圆周角定理 图1 B 问题2：在图2中，∠ACB是圆周角，作出弧AB所对的圆心角∠AOB，分别测量∠ACB和∠AOB的度数，它们之间有什么关系？再在圆上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？

C

O

A B

图2 三、

证明圆周角定理

问题3：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 在圆上任取弧BC，画出圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，圆心与圆周角有几种位置关系？

在第一种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？

A

O

B C 在第二三种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？

A A O

B C B O C

圆周角定理：_____________________________________________________ 四、探究特殊情况，获得推论

问题4我们知道，一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？

问题5半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？

B O C A D 圆周角定理的推论：_____________________________________________ 五、应用圆周角定理与推论

例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．

ACOBD六、目标检测

1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？

A

C

B BA

O

C D 第2题 第3题

2．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，则∠ABC＝________．

3.如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=____ 七、小结

（1）

本节课学习了哪些内容？

（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？

24.1.4 圆周角（2）

学习目标：

【知识与技能】

掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题. 【过程与方法】

经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力

【情感、态度与价值观】

激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活

【重点】 【难点】

圆周角的推论学习 圆周角推论的应用

一．自主探究

1、如图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？

（引导学生探究问题的解法）

_

A

_

B_

C _

o

2、如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？

A

CBO

（三）、归纳总结：

1、归纳自己总结的结论： （1） （2） 注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；

（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视. （四）自我尝试：

1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，

∠ADC=50°,求∠CEB的度数.

AOCEBD

2、如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，

A求证：∠DAC=∠BAE

3、变式：如图，△ABF与△ACB中，∠C与∠ABF相等吗？

OBEADCOBFEDC4、如图， A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，

∠CAD=∠EAB,AE是⊙O的直径吗？为什么？

BOADCE

二、教师点拔

1、两条性质： 2、

直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线.

三、课堂检测

1、如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°,则∠ABC=________. 2、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______, ∠BOD=_______. 3、如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD，判断△ABC的形状：__________。

4、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°,则AC的度数是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

24.2.1 点和圆位置关系

学习目标：

【知识与技能】

弄清并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系，探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆方法；了解运用“反证法”证明命题的思想方法

【过程与方法】

通过生活中的实际事例，探求点和圆三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想

【情感、态度与价值观】

通过本节知识的学习，体验点和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在我们身边。从而更加热爱生活，激发学习数学的兴趣。

【重点】

（1）圆的三种位置关系；（2）三点的圆；（3）证法；

【难点】

（1）线和圆的三种位置关系及数量间的关系；（2）反证法；

学习过程: 一、自主学习

（一）复习巩固

1、圆的定义是 2、什么是两点间的距离： （二）自主探究

1、

放寒假了,爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？

BA

o

C

2、观察下图这些点与圆的位置关系有哪几种？

3、点与圆的位置与这些点到圆心的距离有何关系?

到圆心的距离等于半径的点在

,大于半径的点在

, 小于半径的点在

．

4、在平面内任意取一点P，若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，

PP那么：

P点P在圆 d r 点P在圆 d r rrr点P在圆 d r . . . . . . .



5、若⊙A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置(

)

A.在⊙A内

B.在⊙A上

C.在⊙A外

D.不确定

6、两个圆心均为O的甲,乙两圆,半径分别为r1和r2,且r1＜OA＜r2,那么点A(

)

A.甲圆内

B.乙圆外

C.甲圆外,乙圆内

D.甲圆内,乙圆外

7、探索确定圆的条件

经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，

那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．

（1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？

（2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？如何确定圆心？你能作出几个这样的圆？

结论：不在同一直线上的三个点确定

圆

8、经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的

圆．

外接圆的圆心是三角形三条边

的交点，叫做这个三角形的

心．

9、用反证法的证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．

证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这Pl1个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段

的l2垂直平分线L2，•即点P为L1与L2的

点，而L1⊥L，L2⊥L，这与我们以前所学的“过一点有且只有

条直线与已知直线

”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆．

BCA

上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做

．

在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．

10、用反证法证明：若∠A 、∠B、∠C分别是ABC的三个内角，

则其中至少有一个角不大于60 °

24.2.2 直线和圆的位置关系（第一课时）

学习目标：

【知识与技能】

了解直线和圆的三种位置关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线和圆交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法。

了解切线，割线的概念。

【过程与方法】

通过生活中的实际事例，探求直线和圆三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想

【情感、态度与价值观】

通过本节知识的操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索直线和圆的位置关系中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感。

【重点】(1)直线与圆的三种位置关系(2)会正确判断直线和圆的位置关系。

【难点】会正确判断直线和圆的位置关系

学习过程: 一、自主学习

（一）复习巩固

复习点与圆的位置关系，回答问题：如果设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，

请你用d与r之间的数量关系表示点P与⊙O的位置关系。

（二）自主探究

1、操作：请你画一个圆，上、下移动直尺。

思考：在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？请你描述这种变化。

讨论：①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系

②直线与圆的公共点个数有何变化？

2、直线与圆有＿＿＿＿种位置关系：

▲直线与圆有两个公共点时，叫做 。这条直线叫做圆的 ▲直线与圆有惟一公共点时，叫做 ，这条直线叫做

这个公共点叫做 ； ▲直线和圆没有公共点时，叫做 。

3、下图是直线与圆的三种位置关系，请观察垂足D与⊙O的三种位置关系，说出这三种位置关系同直线与圆的三种位置关系的联系。

4、探索：若⊙O半径为r，O到直线l的距离为d，则：

①直线与圆 d r，

②直线与圆 d r ， ③直线与圆 d r。

5、在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？

（1）r=2

(2)r=22

(3)r=3

（三）、自我尝试：

在△ABC中，AB＝5cm,BC=4cm,AC=3cm, （1）若以C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系如何？

（2）若直线AB与半径为r的⊙C相切，求r的值。

（3）若直线AB与半径为r的⊙C相交，试求r的取值范围。

(五)课堂检测

1、

圆O的直径4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与圆O的位置关系是（ （A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）相切或相交

2、直线l上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线l与⊙O的位置关系是（（A）

相切 （B）相交 （C）相离 （D）相切或相交

）

）

24.2.2 直线和圆的位置关系（第二课时）

【知识与技能】

1、了解切线的概念,掌握切线的性质定理和判定定理

2、会过圆上一点画圆的切线

【过程与方法】

经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯

【情感、态度与价值观】

体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的确定性

【重点】 切线的性质定理和判定定理

【难点】 切线的性质定理和判定定理

学习过程: 一、自主学习

（一）复习巩固

1、直线和圆的位置关系有哪些？ 它们所对应的数量关系又是怎样的？ 2、判断直线和圆的位置关系有哪些方法？ 特别地，判断直线与圆相切有哪些方法？ （二）自主探究

1、探索直线与圆相切的另一个判定方法

如下图，⊙O中，直线l经过半径OA的外端，点A作且直线l⊥OA，

你能判断直线l与⊙O的位置关系吗？你能说明理由吗？

理由：

结论：___________________________________________________________

总结切线判定定理：

定理的符号语言：

如何作一个圆的切线： 2、思考探索；如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，

直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？

理由吗？

切线的性质定理：

定理的符号语言：

3、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

（三）、归纳总结：

1、判断直线与圆相切有哪些方法？

2、直线与圆相切有哪些性质？

3、在已知切线时，常作什么样的辅助线？

（四）自我尝试：

如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB=40°，求∠ACB的度数。

教师点拔：

相切是直线与圆位置关系中最理想、最漂亮、最具有美学性的关系，本节内容的探索与推敲向我们揭示出：抓住有价值的特殊现象作深入细致的研究，可以增强创新能力和素质。

在解决与圆有关的问题时，常常需要添加辅助线：⑴已知直线是圆的切线时，通常需要连接 和 ，这条半径垂直于切线。⑵要证明一条直线是圆的切线时：①如果直线经过圆上某一点，则需要连接 和 得到辅助线半径，再证明所作半径垂直于这条直线。总结为：已知公共点，连半径证垂直；②如果已知条件中直线与圆的公共点没有确定，那么应过 作直线的 ，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，总结为：未知公共点，作垂线证半径。

24.2.2 直线和圆的位置关系（第三课时）

学习目标：

【知识与技能】

1、掌握切线长的概念及切线长定理

2、掌握三角形的内切圆及内心等概念

3、会作三角形的内切圆

【过程与方法】

1、利用圆的轴对称性帮助探索切线长的特征

2、结合求三角形内面积最大的圆的问题，给出了三角形的内切圆和内心的概念

3、类比思想、数形结合、方程思想的运用

【情感、态度与价值观】

通过操作、实验、发现、证明等数学活动，探索数学结论，激发学生学习数学的兴趣

【重点】 切线长定理

【难点】 内切圆、内心的概念及运用

学习过程: 一、自主学习

（一）复习巩固

1、三角形的外心：

2、角平分线的性质定理：

3、切线的判定定理：

4、切线的性质定理：

（二）自主探究

1、按探究要求，请同学们动手操作，思考24．2—12中， OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？

利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？

2、什么叫切线长? 注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是 ，不能度量；切线长是 的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

3、切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条 ，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的 . 4、

常用辅助线 已知PA，PB切⊙O于A，B。

（1）

（2）

（3）

（4）

图（1）中，有什么结论？

图（2）中，连结AB，增加了什么结论？

图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？

图（4）中，再连结OA，OB。又增加了什么结论？

5、

和三角形的各边都相切的圆

与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心。

注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”。

（三）、归纳总结：

1、圆的切线长概念 2、切线长定理 3、三角形的内切圆及内心的概念 （四）自我尝试：

AD1、如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，OP•已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．

CB

2、如图(5)，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AB=2,BC=3，AC=1，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r___________

3、如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=_________．

OACPBAACADOBFECPOAFOEC

(1) (2) (3) (4) (5) 4、Rt在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆的半径r=_________．

5、如图2，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_______．

6.如图(3)圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，

BBCBD

则∠APB=（ ） A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a

8．如图(4)，边长为a的正三角形的内切圆半径是_________．

24.3正多边形和圆

学习目标：

【知识与技能】

1、通过对正多边形与圆的关系的探索，培养学生观察、猜想、推理、迁移及归纳能力，使学生初步掌握正多边形与圆的关系的定理，进一步向学生渗透“特殊—一般”再“一般—特殊”的唯物辩证法思想。

2、通过日常生活中观察到的正多边形的图案及运用正多边形和等分圆周设计图案培养学生的动手能力，体会图形来源于现实，服务于现实。

【过程与方法】

通过利用等分圆周的的方法，探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的中心，半径、中心角、边心距等有关概念，从而渗透归纳、分类讨论等数学思想。

【情感、态度与价值观】

经历观察、发现、探索正多边形与圆的关系的数学活动中，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是互相联系，相互作用的。

【重点】 正多边形的概念与正多边形和圆的关系的定理。

【难点】 对正多边形与圆的关系的探索。

学习过程: 一、自主学习

（一）复习巩固

观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？

提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？ 3、等边三角形与正方形的边角性质有哪些共同点？ （二）自主探究

1、观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念

概念： 叫做正多边形。

（注： 相等与 相等必须同时成立）

2、提问：矩形是正多边形吗？为什么？

菱形是正多边形吗？为什么？

3、如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正 边形．等边三角形有三条边叫正 角形，正方形有四条边叫正 边形．

4、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；

5、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的 。

6、问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。

问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？ 发现：正三角形与正方形都有 和 ，并且为 ．圆心就是正多边形的 分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？

思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？

结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是 图形，又是 图形。

7、用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。

8、如何作正八边形正三角形、正十二边形？

（三）、归纳总结：

1、叫正多边形

2、正多边形与圆的关系是

3、正多边形的对称性

（四）自我尝试：

1、已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求证：五边形ABCDE是正五边形．

教师点拔

1、正多边形每一个内角都等于 2、正多边每一个中心角和外角都等于 ，中心角和外角相等。

24.4 弧长和扇形面积（第一课时）

学习目标：

【知识与技能】

1、理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式

2、会利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长

【过程与方法】

1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积

2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，

培养学生运用已有知识探究问题获得新知识的能力

【情感、态度与价值观】

1、通过对弧长及扇形的面积公式的推导，理解整体和局部

2、通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用

【重点】

弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积

【难点】

运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积

学习过程: 一、自主学习

（一）复习巩固

1、小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？

2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？

（二）自主探究

1、如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm

1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？

2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

2、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即AB的长(结果精确到0.1mm)．

3、上面求的是110°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n，如何计算它所对的弧长呢？

请同学们计算半径为3cm，圆心角分别为180、90、45、1、n所对的弧长。

A

A

AAA

因此弧长的计算公式为

OBOOBBOBOBl__________________________ 4、如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形

问：右图中扇形有几个？同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1的扇形面积是面积的几分之几？进而求出圆心角n的扇形面积

如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，

那么扇形的面积为S . 因此扇形面积的计算公式：

S________________________ 或 S_______________________

（三）、归纳总结：

1、 叫扇形

2、弧长的计算公式是 扇形面积的计算公式是

（四）课堂检测

1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的_________；

22、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_________°. 33、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________ （五）练习

A1.如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇形的面积和是多少？

DBC

2、一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度是多少？

BAB'CB''24.4 弧长和扇形面积（第二课时）

学习目标：

【知识与技能】

通过实验使学生知道圆锥侧面展开图是扇形，知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥侧面积和全面积

【过程与方法】

通过做圆锥和展开圆锥，观察分析圆锥的侧面展开图——扇形，再通过由扇形做成圆锥，理解圆锥与扇形及圆之间的关系，进一步体会数学中的转化思想，培养学生动手操作能力和分析问题解决问题的能力。

【情感、态度与价值观】

通过做圆锥和把圆锥展开，理解事物之间的联系，激发学生动手的欲望和积极思考的兴趣。

【重点】 圆锥的侧面积和全面积的计算方法

【难点】 圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积

学习过程: 一、自主学习

（一）复习巩固

1、一段长为2的弧所在的圆半径是3，则此扇形的圆心角为_________，

扇形的面积为 。

（二）自主探究

1、看右图圆锥的侧面展开图的形状

2、圆锥的侧面展开图是一个 ，

设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么

这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径

即为 ，

扇形的弧长即为底面圆的 根据扇形面积公式可知S＝ 因此圆锥的侧面积为S侧＝ 圆锥的侧面积与底面积之和称为 表示为S全= （三）、归纳总结：

1、 叫圆锥的母线。

2、 叫圆锥的高。

3、圆锥的侧面积计算公式是 ， 叫圆锥的全面积。

圆锥的全面积计算公式是 。

（四）自我尝试：

如果该圆锥形的冰淇淋纸筒的母线长为8cm，底面圆的半径为5cm,你能算出扇形的圆心角的度数吗？

（五）当堂检测

1、将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（ ）

A.815cm B.817 cm C.163 cm D.16 cm 2、现有一圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）

A.4 cm B .3cm C.2 cm D.1 cm 3、已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面半径长的比是 . （六） 练习

1．圆锥母线长5 cm，底面半径为3 cm，那么它的侧面展形图的圆心角是…( ) A．180° B．200° C. 225° D．216°

2．若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( ) A．180° B. 90° C．120° D．135°

3．在半径为50 cm的图形铁片上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制做成一个底面直径为80 cm，母线长为50 cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角的度数为( ) A．288° B．144° C．72° D．36°

4．用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为 ( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm 5.已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）

（A）12.5厘米（B）25厘米（C）50厘米（D）75厘米

6.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）

(A）60° （B）90°

（C）120°（D）180°

7.若圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积是________ 8.若圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度. 2 9.已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm。(1）扇形的弧长= ；

（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是

10.圆锥的母线为13cm，侧面展开图的面积为65πcm2，则这个圆锥的高为 . 11.△BAC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，以AC所在的直线为轴将△ABC旋转一周得一个几何体，这个几何体的表面积是多少？

第24章圆

单元测试题

一

、选择题：

1.下列语句中正确的是（ ）

A.长度相等的两条弧是等弧 B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等 D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

2.如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,CD⊥AB,若∠DAB=65°,则∠AOC等于（ ）

A.25°

B.30° C.50° D.65°

3.下列说法正确的是（ ）

A．三点确定一个圆 B．一个三角形只有一个外接圆

C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等

4.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2.1cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）

A.相离

B.相切

C.相交

5.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A. B. C. D.

D.相切或相交

6.如图2,圆锥底面半径为rcm,母线长为10cm,其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（

）

A.3

B.6

C.3π

D.6π

7.如图3,圆锥的底面半径r为6cm,高h为8cm,则圆锥的侧面积为（ ）

A.30πcm2

B.48πcm2

C.60πcm2

D.80πcm2

8.如图4，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ）

A．25° B．40° C．50° D．65°

9.如图5，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和弧BC的长分别为（ ）

图1 图2 图3 图4 图5 10.如图6，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（ ）

A．4

B．8 C．2

D．4

11.如图7，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ） A.1 B.1或5 C.3 D.5 12.如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB/C/，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）

A.π B.π

C.2π

D.4π

图6 图7 图8 图9 二

、填空题：

13.如图9，AB为⊙O的直径，∠ACD=54°，则∠BAD= ．

14.已知AB是⊙O的弦，AB=8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm. 15.⊙O的半径为R,点O到直线l的距离为d,R,d是方程x2﹣4x+m=0的两根,当直线l与⊙O相切时,m的值为 ．

CD为⊙O的弦，

16.如图10,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=，则阴影部分图形的面积为 O，分则EFOA、17.如图11，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，为 ． 18.如图12,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠ABC=2∠D,连接OB、OC、AC，OB与AC相交于点E，若∠COB=3∠AOB，OC=2果保留π和根号）

，则图中阴影部分面积是 （结19.如图13，圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，则该正六边形的内切圆半径为 cm．

图10 图11 图12 图13 三

、解答题：

20.如图,AB是☉O的直径,弧AC=弧CD,∠COD=60°. (1)△AOC是等边三角形吗?请说明理由. (2)求证:OC∥BD.

21.如为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂点P，直线BF与AD的延长线交于点F，

且∠AFB=∠ABC．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线．

（2）若CD=2，OP=1，求线段BF的长．

图，AB足为

22.如图,AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°, 延长BA到D，使

∠BDC=30°. （1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若AB=2，求DC的长.

23.如图,正方形ABCD的边长为2cm,以边BC为直径作半圆O,点E在AB上,且AE=1.5cm,连接DE．

（1）DE与半圆O相切吗？若相切,请给出证明；若不相切,请说明情况；

（2）求阴影部分的面积．

24.如图1，在直角坐标系xoy中，直线l与x、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，16/3）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．

（1）求证：y轴是⊙G的切线；

（2）请求⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；

（3）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长？

25.如图①②③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．

(1)在图①中，求∠APB的度数；

(2)在图②中，∠APB的度数是 ；在图③中，∠APB的度数是 ．

(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．