12.3 互逆命题优秀教案

教学课题：

12.3互逆命题（2）

课型：

新授课

教学目标：

1.

体会认识图形特殊“位置关系”和特殊“数量关系”的内在联系；

2.

经历构造一个命题的逆命题，并证明这个逆命题是真命题，获得新的数学结论的过程；

3.

通过命题的证明，进一步提高学生的分析能力，培养学生的逆向思维。

教学重点、难点：

重点：体会图形特殊“位置关系”和特殊“数量关系”的内在联系。

难点：经历“探索-发现-猜想-证明”的数学活动过程,发展合乎逻辑的思考和有条理的说理。

教学方法与手段：采用PPT及展台投影，微课教师录课

教学过程：

教师活动

学生活动

设计意图

回忆互逆命题的概念及知识点，为今天学习互逆命题作铺垫

让学生从自己思考、探索中得出答案，体会互逆命题，感知线的位置关系和角的数量关系，有利于自己的理解和应用

培养学生交流、合作的能力，在讨论中得出结论，在分享中促进学生相互帮助得出答案，请学生回答并补充

一、【复习回顾】

1.你还记得吗？什么是互逆命题？

两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。

2.在你已经学习过的命题中，举出两个命题，它们不仅是逆命题，而且都是真命题。

学生一起回忆旧知并回答

二、【探索活动】

探索活动1. 如图, AB∥CD，AB与DE相交于点G，∠B=∠D. 在教师的引导下问题1：你由这些条件可以证明DE∥BF吗？

学生自己探索并如何证明呢？

完成填空

在下列括号内填写推理的依据.

∵AB∥CD（已知）

F

∴∠EGA=∠D（ ）

E

又∵∠B=∠D（已知）

ABG

∴∠EGA=∠B（ ）

DC

∴DE∥BF（ ）

问题2：还有不同的方法可以证明DE∥BF吗？

问题3：在图中，如果DE∥BF，∠B=∠D，那么你

可以证明AB∥CD吗？如何证明呢？

问题4：在图中，如果AB∥CD，DE∥BF，那么你

得到什么结论？证明你的结论.

探索活动2.

如图：

（1）如果AD∥EF，那么可以得到什么结论？

学生通过分小组（2）如果∠EFC＋∠C＝180°，那么可以得到什讨论探索活动，得么结论呢？

出答案，派代表回（3）证明AD∥EF，需要什么条件？证明EF∥BC 答，其他同学补充

呢？

（4）证明AD∥EF∥BC，需要什么条件？

1

E

F

B

C

三、【例题精讲】

例1：证明：平行于同一条直线的两条直线平行. 分析：证明：如果两条直线平行于同一条直线，那

么这两条直线也互相平行.

已知：如图，直线a、b、c中，b∥a，c∥a．

求证：b∥c．

学生在老师带领

下分析题目找到1

条件和结论，写出

2

已知和求证，并各

自拿出直尺作图3

探索，添完辅助线

补充证明过程和证：

依据

作直线a、b、c的截线d

∵b∥a (已知) ∴∠2＝∠1 (两直线平行，同位角相等)

∵c∥a (已知) ∴∠3＝∠1 (两直线平行，同位角相等)

∴∠2＝∠3 (等量代换)

∴b∥c (同位角相等，两直线平行)

例2：证明：直角三角形的两个锐角互余．

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°.

求证：∠A＋∠B＝90°．

例题讲解老师根A

据学生的分析在

黑板上画出一个

直角三角形，请学

生分析老师板书

在黑板上，并适当

提问和补充

B

C

证：在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°

（三角形三个内角的和等于180°）

∴∠A＋∠B＝180°－∠C（等式性质）

∵∠C＝90°（已知）

∴∠A＋∠B＝180°－90°（等量代换）

即∠A＋∠B＝90°

A

D

dabc

目的是让学生会分析题目的已知和求证，借助直尺画出图形，强调图形特殊“位置关系”和特殊“数量关系”的内在联系与相互转化

例2的学习目的是让学生会证明“直角三角形的两个锐角互余”，规范证明题书写格式，并找出它的逆命题判断出它也是真命题

2

四、【巩固练习】

巩固1. (1)已知：如图,在直角三角形ABC中，∠ACB＝ 90°，

D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：CD⊥AB．

(2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命

C

题？

说出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题．这个命题是真命题吗？为什么？

“有两个角互余的三角形是直角三角形”真命题

练习题学生自主

完成，并分享正确

答案

D

B

A

(1)证：

∵∠ACB=90°

∴∠A+∠B＝90°

∵∠ACD＝∠B

∴∠A+∠ACD＝90°

∴∠ADC＝90°

∴CD⊥AB

(2)直角三角形的两个锐角互余。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

巩固2.

(1)完成下面的推理说明: 已知:如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD.

求证:AB∥CD. 学生自主完成本证:∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）

题，教师选取一个 ∴∠1= , ∠2= （ ）

学生的答案投影， ∵BE∥CF（已知） 并讲评完善

∴∠1=∠2（ ）

∴ = （ ）

∴∠ =∠ （等式性质）

∴AB∥CD（ ）

(2)说出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题.

3

培养学生自主思考解决问题的能力，学生享受交流与分享的过程与喜悦，及时巩固应用例2的命题和逆命题

及时巩固练习，加强知识点的理解与应用，找出一对互逆命题，学会举一反三，再次强调图形特殊“位置关系”和特殊“数量关系”的内在联系与相互转化

五、【拓展延伸】

在四边形ABCD中

（1）请你用小亮、小丽、小丁中任何两人所给出的

事项作为条件，另一个事项作为结论，构造命题。

（2）你构造的命题是真命题吗？为什么？

学生自己动脑尝

试完成，请不同学

生板演出构造的

不同的命题与证

明方法

AB∥CD

AD∥BC ∠B=∠D

小亮 小丽 小丁

六、【课堂小结】

1）

互逆命题

2）

平行于同一条直线的两条直线平行．

直角三角形的两个锐角互余．

师生一起复习回逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形．

顾

3）

图形特殊“位置关系”和特殊“数量关系”的转化. 4）

思维方式：逆向思维. 板书设计：

A D B C 小小小

灵活构造命题，培养学生融会贯通、举一反三的能力，也考察平行线知识、互逆命题的应用情况，这道灵活多变、答案不唯一的题目可激发学生探索的乐趣，增强学生解决问题的信心，享受成功的喜悦

通过师生共同复习，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识体系

12.3互逆命题（2）

例1.证：

d

作直线a、b、c的截线d 1

a

例2.证：

∵b∥a (已知) 在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°

2

b

（三角形三个内角的和等于180°）

∴∠2＝∠1 3

(两直线平行，同位角相等)

c

∴∠A＋∠B＝180°－∠C（等式性质）

∵c∥a (已知) ∵∠C＝90°（已知）

A

∴∠3＝∠1 ∴∠A＋∠B＝180°－90°（等量代换）

(两直线平行，同位角相等)

即∠A＋∠B＝90°

∴∠2＝∠3 (等量代换) ∴b∥c (同位角相等，两直线平行) B

C

授后小记：本节课为互逆命题的第二节课，涉及内容几何题偏多、较基础，从复习互逆命题，到感知线的位置关系和角的数量关系，体会图形特殊“位置关系”和特殊“数量关系”的内在联系与相互转化，培养学生融会贯通、举一反三的能力去证明一个命题和它的逆命题。规范学生几何证明题的书写格式，强调内在的因果联系，在几何题的分析与证明中渗透逆向思考问题的方法，培养学生的逆向思维。

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