小结与思考优质公开课教案

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第24课时

与圆有关的性质

教学目标：

1.理解并掌握与圆有关的概念；2.理解并掌握垂径定理及应用；

3.理解并掌握圆周角、圆心角的有关定理及应用.

知识要点：

本课的知识要点：垂径定理；圆周角定理及推论；圆心角、弧、弦之间的关系；确定圆的条件；三角形的外接圆、外心等，并能应用这些知识进行有关的说理与计算.

考点精讲：

考点一：垂径定理

垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.

例1：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（

）.

A.CM=DM

B. CBBD

C.∠ACD=∠ADC

D.OM=MD

分析：本题主要考察垂径定理.

图24-1 解:根据垂径定理得：CM=DM，CBBD，AC=AD，由AC=AD得∠ACD=∠ADC，而OM=MD不一定成立。故答案选D.

评注：本题主要考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.

例2：如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23

，0C=1，

则半径OB的长为_____．

分析：本题主要考察了垂径定理及勾股定理的应用.

解：根据垂径定理，可知BC=AOCB图24-2 1AB=3，然后根据勾股定理，得OB=2312=2。故答案2.

2评注：垂径定理与勾股定理结合后，只要知道弦、半径、圆心到弦的距离中的任何两个量就能求出

第三个.

考点二：圆周角与圆心角

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

例1：已知：如图，OA,OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上则

∠ACB的度数为(

) .

A.45°

B.35°

C.25°

D.20°

分析：本题考查的是圆周角定理

解：根据定理有∠ACB=1∠AOB=45°.故答案选A.

2图24-3 DOCB评注：在圆中计算圆周角的度数时，通常要考虑它和同弧所对的圆心角的关系。

例2：如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55º，则∠BCD的

A度数为（

）.

A.35º

B.45º

C.55º

D.75º

分析：本题主要考查圆周角定理的推论.

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图24-4

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解：如右图所示，连接AD，则△ABD是直角三角形，∠ADB=90°,则∠DAB=90°-∠ABD=35°,根据同弧所对的圆周角相等，

∠BCD=∠DAB=35°,.故选A.

评注：本题有直径，因此常构造直径所对的圆周角，因此在做题过程中要注意作辅助线，难度较小.

考点三：圆心角、弧、弦之间的关系

例：如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，.

(1) 求证：BD=CD；

(2) 请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由.

分析：本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦关系、点与圆的位置关系、圆周角定理及推论.

解：（1）∵AD为直径，AD⊥BC，

∴BDCD. ∴BD=CD.

（2）答：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.

理由：由（1）知：，∴∠BAD =∠CBD. B

∵∠DBE = ∠CBD +∠CBE，∠DEB = ∠BAD +∠ABE，∠CBE =∠ABE，

∴∠DBE =∠DEB.∴BD=DE. 由（1）知：BD=CD.∴DB=DE=DC. ∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.

评注：在圆中弦相等、弧相等、及圆心角、圆周角相等的证明往往是互相转化解决，而垂径定理又与弧有联系，弧与圆心角、圆周角有关联，因此常常在一个题目中综合应用.

考点四：确定圆的条件（尺规作图）

过不共线的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个三角形的内接三角形；外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

例：如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.

（1）请完成如下操作：

①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.

（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：

①写出点的坐标：C

、D

；

②⊙D的半径=

（结果保留根号）；

分析：本题考查的是确定一个圆圆心的方法及线段

垂直平分线的尺规作图.

解：（1）如图

（2）①

C（6，2），D（2，0）②25

O D 图24-7 A y O B C E x 图24-6 A B C A

E

F

C

D

24-5 图评注：确定一个圆的圆心的方法是：在圆（或圆弧）上任取三个点，连接相邻两点，作线段的垂直平

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分线，其交点即为所求作的圆心，也就是，只要理解与掌握确定圆的条件及三角形外心的定义这类题目的不难解决的.

疑难点和易错点

：

本节知识主要是圆周角在圆中的转换非常灵活，也就是圆周角定理及推论的应用非常灵活，在加之垂径定理、三角形相似等知识融合进来，学生往往感到有些摸不清头绪，有些混乱. ⌒上到一点E使∠EBC=∠DEC，

例：已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧

AD延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．

（1）求证：AC⊥BH；

（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．

分析：本题综合考查了圆周角定理及推论、相似三角形的判定及性质

以及勾股定理等知识，再加上要添加辅助线，对学生来说，是一个考验.

解：⑴连接AD，∵∠DAC=∠DEC

∠EBC=∠DEC

图24-8 ∴∠DAC=∠EBC，又∵AC是⊙O的直径

∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°

∴∠EBC+∠DCA=90°，

∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°

∴AC⊥BH

图24-9 ⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴BD=AD，∵BD=8，∴AD=8 又∵∠ADC=90°

AC=10，∴由勾股定理，得DCAC2AD2102826. ∴BC=BD+DC=8+6=14，又∵∠BGC=∠ADC=90°

∠BCG=∠ACD

∴△BCG∽△ACD，∴CGBCCG1442，∴

∴CG

DCAC5610连接AE，∵AC是直径，

∴∠AEC=90°，又∵EG⊥AC ∴△CEG∽△CAE

∴∴CE84221.

CECG42

∴CE2ACCG1084

ACCE5点评：在圆的问题中，如果告诉直径，常常根据直径所对的圆周角为直径添加辅助线，从而可以运用直角三角形的相关性质解决问题，此外圆周角定理及推论在圆中应用非常广泛，根据其角的转换，可以构造相似三角形，从而利用相似三角形的性质解决线段之间的关系，从而进行有关的证明或计算.

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