1.2.1 充要条件多媒体教案及点评

充要条件

(一)教学目标

（１）

正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（２）

正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （３）

通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

（二）教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件；

2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

（三）教学过程

学生探究过程：

1.思考、分析

已知p：整数a是6的倍数；q：整数a是2和3的倍数. 请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件；

又q  p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件

２.类比归纳

一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作 p  q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 概括地说,如果p  q,那么p 与 q互为充要条件. 3.例题分析

例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

2（１）

p:b＝0,q:函数f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数；

（２）

p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；

（３）

p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；

（４）

p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10

22（５）

p: a ＞ b ,q: a

＞ b

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：命题（１）和（３）中，pq ，且qp，即p  q，故p 是q的充要条件；

命题（２）中，pq ,但q 

p，故p 不是q的充要条件；

命题（４）中，pq ，但qp，故p 不是q的充要条件； 命题（５）中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件；

4.类比定义

若pq ,但q 

p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q 

p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q 

p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若pq ,但q 

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p 

q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

[来源: ]

④若p 

q，且q 

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

5.判断充分条件、必要条件的方法

(一)直接用定义判断

①若pq ,但q 

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p 

q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若p 

q，且q 

p，则p是q的既不充分也不必要条件

[来源: ]练习: 下列各组语句中，p是q的什么条件？

（1）p：a＞0，b＞0，q：a＋b＞0；

（2）p：四边形的四条边相等，

q：四边形是正方形；

（3）p：|x|＜1，q：－1＜x＜1；

（4）p：a＞b，q：a2＞b2. (二)利用集合的关系判定

首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}；q：B＝{x|q(x)}．

若A是B的子集,且B不是A的子集，则p是q的充分而不必要条件；

若B是A的子集,且A不是B的子集，则p是q的必要而不充分条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A不是B的子集,且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件

练习：

（1）、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6,则p是q的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

（2）、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”

是“x∈M∩N”的 ( ) A.充要条件

B .必要不充分条件

C .充分不必要 D .不充分不必要

（3）、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是( ) A.a<3

B.|a|<2 C.a2<9 D.0

由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系．

练习：

（4）、已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（

）

Ａ充分非必要条件

Ｂ必要非充分条件

Ｃ充要条件

Ｄ既非充分又非必要条件

（5）、已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则

（1）s是q的什么条件？

（2）r是q的什么条件？

（3）P是q的什么条件？

（6）、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A的________ (四)

等价命题法

当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来解决，即等价转化为判断其逆否命题．

６．例题分析

例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．

证明过程略．

规律方法

充要条件的证明，关键是确定哪是条件，哪是结论，并明确充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件，也可以理解为证明充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．