3.1.3 导数的几何意义全国优秀课堂实录

导数的几何意义

汕头市谢易初中学 张金田

命题解读:主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程,或应用切线的性质求参数值或求解某些问题等.以选择题、填空题为主,有的也以解答题中的一个关键条件或一问的形式出现. 三维目标：

1.知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2.过程与方法：理解曲线的切线的概念；

3.情态与价值：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题. 教学重点：导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义．

教学过程：

【定义引入】

设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PPn的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即:k(切线)=f’(x0) 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

要注意,曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关; 2) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 【高频考向】

求曲线的切线方程

【微思考】如何求过曲线上某点P处的切线方程? 【微提示】根据导数的几何意义先求该点处的导数值,即该点处切线的斜率,再用点斜式求得切线方程. 一、求曲线的切线方程

1【例1】（2017全国1文14）曲线yx2在点1,2处的切线方程为 . x【规范解答】

设yf(x)，则fx2x所以f1211，

所以曲线在(1,2)处的切线方程为y21(x1)，即yx1. 12，

x

【归纳】

(1)求曲线在某点（x0,y0）的切线的方法步骤：

f(x) ①求导：

②求斜率: f(x0)

③求方程：y

y0f(x0) (x-x0).

【练习】

21.曲线y=1- x2在点(-1,-1)处的切线方程为(

) A.y=2x+1

B.y=2x-1 C.y=-2x-3

D.y=-2x-2

【思考】

曲线y=f(x)在点P处的切线与曲线y=f(x)过P点的切线意义相同吗?为什么?

2.过点(1,-2)且与y=x3-3x相切的直线方程为(

) A.y=-2或9x+4y-1=0 B.y=-2 C.9x+4y+1=0 D.y=0或9x+4y+1=0

【归纳】

(2)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程: 设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f′(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.

求切点坐标

【微思考】如何根据切线所满足的条件求切点坐标? 【微提示】设出切点坐标,利用导数的几何意义及切线满足条件,构建关于切点坐标为元的方程(组)求解. 二、求切点坐标

【例2】若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________. 【规范解答】设切点P的坐标为(x0,y0),因为y′=lnx+1, 所以切线的斜率为k=lnx0+1, 由题意知k=2,得x0=e,代入曲线方程得y0=e. 故点P的坐标是(e,e).

【变式】

1.在典例中,若曲线y=xlnx上点P处的切线与直线x+y+1=0垂直,则该切线的方程为________.

【练习】

试求典例中曲线y=xlnx上与直线y=-x平行的切线方程.

【规律方法】求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法

(1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程: 求出切线的斜率f′(x0),由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k,求y=f(x)的切线方程: 设切点P(x0,y0),通过方程k=f′(x0)解得x0,再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程: 设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f′(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程. 求参数的值

【微思考】如何由曲线的切线所满足的条件求某些参数的值? 【微提示】根据题设条件,先将切线所满足的条件用相关参数表示,再构建关于待求参数为元的方程(组)求解. 三.求参数的值

3【例3】(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ax+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=________. 【规范解答】因为f′(x)=3ax2+1, 所以f′(1)=3a+1. 又f(1)=a+2, 所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1). 因为切线过点(2,7),所以7-(a+2)=3a+1,解得a=1. 答案:1

【练习】(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=______.

【解题指南】先求出y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程,然后利用根的判别式构建关于a的方程求解.

【技法点拨】

导数几何意义应用的类型及求解思路或关键

(1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. (2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. (3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.

【课外训练】

1.(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是______.

2.(2015·陕西高考)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线

与曲线y= (x>0)1上点P处的切线垂直,则P的坐标为

__________. x

3.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y= x-2的最小距离为

(

)

A.1 B.2 C.2 D.3

2

4.已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞), 其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)=3,则a的值为______.

115.直线y= x+b与曲线y=- x+lnx相切,则b的值为

(

)

22A.2 B.-1

C.- D.1

6.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于

(

A.2 B.-1

C.1

D.-2

)