习题2.1优质课教案整理

椭圆的参数方程

教学目的：

（一）知识：1.椭圆的参数方程.2.椭圆的参数方程与普通方程的关系。

（二）能力：

1. 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中参数的含义并能利用参数方程来求最值问题；

2．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系，并能相互转化，提高综合运用能力。

（三）素质：使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。

教学重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化

教学难点：1椭圆参数方程的建立及应用.2.椭圆参数方程中参数的理解. 教学方法：引导启发式

教学用具：多媒体辅助教学

教学过程：

一、新课引入

复习回顾:圆x2y2r2的参数方程是什么？

是怎样推导出来的？

xcosxrcosrxy由圆的方程变形为1，令解得：yrryrsinsinr22(为参数)

二．新课讲解

任务1：能类比圆的参数方程，写出椭圆的参数方程吗？

以焦点在x轴上的椭圆为例，推导椭圆的参数方程

2222因为()()1，又cossin1

xayb设xacosxycos,sin， 即(为参数)，

abybsin这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。

任务2.参数的几何意义

思考：类比圆的参数方程中参数的意义，椭圆的参数方程中参数的意义是什么？

y y P M2θ

O A x

O M M1

P2P1x

xrcos(为参数)

yrsinxacosx2y2椭圆的标准方程：221 椭圆的参数方程：(为参数)

abybsin圆的标准方程：xyr 圆的参数方程：222

圆的参数方程中是Ox轴逆时针旋转到OP的旋转角即AOP，那么椭圆的参数方程中是不是上图中Ox轴逆时针旋转到OM的旋转角呢？

请大家看下面图片

如图，以原点为圆心，分别以a、b(ab0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆半径的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时M的轨迹的参数方程. 分析：动点A、B是如何动的？M点与A、B有什么联系？如何选取参数较恰当？

解：设M点坐标为(x,y)，AOx，以为参数，

则xONOAcosacos

yNMOBsinbsin，

当半径OA绕O点逆时针旋转一周时，就得到点M的轨迹，它的参数方程是这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆。

xacos(为参数) ①

ybsin

所以，参数是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角，参数是半径OM的旋转角。

三、例题解析

例1．把下列普通化为参数方程

x2y2y221

1 （2）x（1）1649x2cosxcos(为参数)(为参数)

 y3siny4sin

把下列参数方程化为普通方程

x3cosx8cos(为参数) （4）(为参数)

（3）y5siny10sinx2y2x2y21

1 64100925x2y21上求一点，使该点到直线x-2y-120的距离最小

例2：在椭圆43

方法一：设直线x-2yc0与椭圆相切x2y21得4x22cxc2120,由0得c4时，直线在椭圆下方与椭圆相切，94x2yc0385把c4代入解得交点坐标为（1，-），该点到直线距离最小，为25

x2cos方法二：社椭圆的参数方程为(为参数）可设点的坐标为（2cos，3sin）y3sin则该点到直线的距离为d当|2cos23sin12|52|2cos(5

3)6|5853时，d有最小值为，此时点坐标为（1，-）352x2y21上求一点M，使点M到直线x2y100的距离最小，并求出最小距变式训练1：在椭圆94离. 解法一：设直线x2yc0与椭圆相切

x2y2122由9得25x18cx9c1440

(1)

4x2yc0(18c)2425(9c2144)，由0解得c225

由题意知点M为直线x2y50与椭圆的交点

把c5代入(1)解得点M坐标为(,). 98559821055d55

因此，M到直线x2y50的最小距离为5. 解法二：椭圆的参数方程为x3cos（3cos,2sin）.

(为参数)

可设点M的坐标为y2sin3cos4sin105

由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为d345(cossin)101555cos(0)10,

55其中0满足cos034,sin0.

55由三角函数性质知，当00时，d取最小值. 此时

3cos3cos098,2sin2sin0

55因此，当点M位于(,)时，点M与直线x2y100的距离取最小值5. 9855x2y21的前提下，求出zx2y的最大值例3：与简单的线性规划问题类比，你能在实数x,y满足2516和最小值？

x5cos解：椭圆的一个参数方程为(为参数)

y4sin设M(5cos,4sin)是椭圆上任意一点

z5cos8sin89cos(0)

其中0满足cos058

,sin08989当00时，z有最大值89. 此时，5cos5cos(0)2532

;4sin4sin(0)8989即当点M位于(2532,)时z有最大值89. 8989同理，5cos5cos(0)2532;4sin4sin(0)

8989即当点M位于(2532,)时z有最小值89. 8989四、课堂小结：

本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题. 五、课后作业：

x2y21上的一个动点，求x2y的取值范围. 1设P(x,y)是椭圆64x2y21有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积. 2.已知椭圆10064六、板书设计

椭圆的参数方程

1. 椭圆的参数方程 3.例题分析

2.参数的几何意义

七、教学反思：

1.由于学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教学中采用教师讲解的方法，只有学生理解就可以了；

2.通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。