2.6.2 求曲线的方程教学设计(第一课时)

求曲线的方程

同学们，我们最近一直在研究圆锥曲线，我们研究的方法是通过定义得到方程，再从方程的角度来研究曲线的性质，这种研究的方法是解析几何的精髓所在.这节课我们继续来研究如何求一般曲线的方程.（板书课题）

一、问题情境

要求曲线的方程，首先大家要知道什么是曲线的方程？

问题1：“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念？

（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；

（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上. 就可以说这条曲线是方程的曲线，方程为曲线的方程. 回忆建立椭圆、双曲线、抛物线方程的过程，回答问题2. 问题2：求曲线方程的一般步骤？

二、例题选讲

例1：长为a（a是正常数）的线段AB的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹. 【学生解答1】 解：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，设点M的坐标为(x,y). 因为△AOB是直角三角形，M为斜边AB的中点，所以

1OMABa

2即

x2y2a

两边平方，得

x2y2a2

所以，动点M的轨迹是以两条直线的交点为圆心，a为半径的圆.

【教师点评】

通过分析，该同学发现，动点满足我们所学的圆的定义，则直接求出半径即可得到动点M的轨迹方程.但是此过程要注意区别轨迹和轨迹方程的概念.那么接下来我们来回忆一下下面所叙述的曲线的轨迹是什么？

平面内到长为2a（2a是正常数）的线段AB的两个端点A，B的距离之和等于常数（大于2a）的动点的轨迹是什么？距离之差的绝对值等于常数（小于2a）动点的轨迹是什么？

上述两曲线分别是以A、B为焦点，AB的中点为坐标原点的椭圆和双曲线. 问：上述例1还有什么解法吗？

【学生解答2】

解：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，设点M的坐标为(x,y). 2y)，B(2x，0)

由M为线段AB 的中点可得：A(0，由AB=2a得：(02x)2(2y0)2(2a)2

化简，得：x2y2a2

所以，动点M的轨迹是以两条直线的交点为圆心，a为半径的圆. 【教师点评】

通过分析，根据求曲线方程的一般步骤可知，设出M点的坐标，由题意列方程，最后得到动点M的轨迹方程.同学生1的解法不同，学生1直接通过定义得到动点M的轨迹方程；而学生2则是通过动点M的坐标，表示出A，B的坐标，根据AB的长度列方程得到动点M的轨迹方程.我们称方法1为定义法，方法2为代入法. 通过上述的学习，我们知道平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹为圆；到两定点的距离之和为定值（大于两定点的距离）的点的轨迹为椭圆；到两定点的距离之差的绝对值为定值（小于两定点的距离）的点的轨迹为双曲线.那到两定点的距离之比为定值时，动点的轨迹是什么呢？

例2：平面内到长为2a（2a

是正常数）的线段AB的两个端点A，B的距离之比等于常数(0)的动点的轨迹方程. 【学生解答】

解：以线段AB所在的直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系. 0)，B(a，0)得：设点M的坐标为(x，y)，A(a，

MA(xa)2y2，MB(xa)2y2

由题意得：

(xa)2y2MA

22MB(xa)y化简，得(21)x2(21)y22a(21)x(21)a20

当1时，动点M的轨迹轨迹方程为：x0；

2a(21)2xa0 当1时，动点M的轨迹轨迹方程为：xy2122【教师点评】

严格按照求曲线方程的一般步骤来计算，最后我们得到，平面内到两定点的距离之比为定值时，当定值为1时，动点的轨迹为两定点连线的中垂线；当定值大于0且不为1时，动点的轨迹为圆.此时，这个圆我们称为阿波罗尼斯圆.（用几何画板展示动态图）

刚刚讲述的都是距离，那么把距离变成斜率的乘积时，又会出现什么情况呢？

9例3：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率乘积为，求动4点A的轨迹. 【学生解答】

解：设点A的坐标为(x，y)

由题意可得：kAByyy29，kACkkABACx6x6，并且x2364

x2y2化简可得：36811

因为是△ABC，所以点A不能落在BC所在的直线上，即x6. 所以定点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线，除去x轴上的两点. 【教师点评】

题目看似简单，但是大家容易忘记求曲线方程的最后一步证明，今后大家要注意根据实际情况来求轨迹方程. 刚刚是一种特殊情况，变为一般情况会得到什么结论呢？

变式：求平面内到两定点A，B的斜率之积等于非零常数λ，求动点C的轨迹方程. 【学生解答】

解：以线段AB所在的直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系. 设点C的坐标为(x,y)，AB2a，则

A(a,0)，B(a,0)

可得：kACyy，kBC

xaxa由题意可得：kACkBCy22

2xax2y2化简可得：221

aax2y2当0时，动点C的轨迹方程为：221；

aa当1时，动点C的轨迹方程为：x2y2a2；

x2y2当0时，动点C的轨迹方程为：221. aa【教师点评】

通过计算，大家发现当斜率乘积为正时，轨迹为双曲线；当斜率乘积为负且不为-1时，轨迹为椭圆；当斜率乘积为-1时，轨迹为圆.从而可得圆的方程的三种形式①定义；②阿波罗尼斯圆；③平面内到两定点的斜率乘积为-1时.

三、课堂小结

①

求轨迹方程的一般步骤：建系、设点、列方程、化简、证明；

②

求轨迹方程常用的方法：一般法、定义法、代入法；

③

圆的方程的三种形式.