3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案设计范例

教学设计

1.2

导数的计算

1．2.1

几个常用函数的导数

整体设计

教材分析

《几个常用函数的导数》是《导数的计算》的起始课，导数的计算这一节主要是介绍求函数导数的方法．但是，由于最终总会归结为求极限，而新教材没有介绍极限的知识，因此1教科书只是采用了利用定义方法计算了y＝c、y＝x、y＝x2、y＝、y＝x这五个常用函数x的导数，意在让学生感受根据导数定义求导数的这种方法，强化根据定义求导数的步骤，其他不作过多的要求．只对它们所表示的几何意义和物理意义作一个简单的掌握，对于以后求其他函数的导数时，这五个函数的导数可以直接拿来用．

课时分配

1课时．

教学目标

1．知识与技能目标

(1)能够用定义求五个常见函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤．

1(2)掌握五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝、y＝x的导数公式，会利用它们解决x简单的问题．

2．过程与方法目标

通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法．

3．情感、态度与价值观

(1)通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识．

(2)通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认知能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置．

重点难点

1重点：五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝、y＝x的导数公式及应用．

x1难点：五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝、y＝x的导数公式．

x教具准备

多媒体课件

教学过程

引入新课

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y＝f(x)，如何求它的导数呢？

导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究求导数的比较简捷的方法，下面我们求几个常见函数的导数．

探究新知

提出问题

问题1：请同学们回忆：根据导数定义求导数的步骤．

活动设计：学生不准看书，独立思考．

活动结果：(板书) 1．先求函数的增量Δf＝Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；

Δyfx＋Δx－fx2．求函数的平均变化率＝；

ΔxΔx3．取极限f′(x)＝lim

x0fx＋Δx－fx. Δx活动成果：学生熟悉了根据定义求导数的三个步骤，仍要对三个步骤重点强调．

设计意图

根据上述步骤，对以下求常用函数的导数就有法可寻．虽然以后注重的是计算，但方法才是本质的东西．

(既然知道用定义求导数的三个步骤，接下来就求一下函数y＝f(x)＝c的导数)(板书) 1．函数y＝f(x)＝c的导数(板书) Δyfx＋Δx－fxc－c根据导数定义，因为＝＝＝0，

ΔxΔxΔxΔyfx＋Δx－fx(第一步求函数值的增量Δf＝Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；第二步＝.这两步可ΔxΔx以合为一步来做)

所以y′＝lim

x0Δy＝lim0＝0. Δxx0(板书突出成果)

函数

y＝c

导数

y′＝0

活动设计：学生不准看书，独立思考．

问题2：y′＝0表示的几何意义是什么？(给学生一二分钟) 结论：y′＝0表示函数y＝c图象(如上图)上每一点处的切线的斜率都为0. 问题3：若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0表示的物理意义是什么？

结论：y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

学情预测：有些学生说的不对或是不恰当，老师应给予帮助和鼓励，有助于下一步的教学．

设计意图

学以致用，让学生去思考更多的问题，让他们从中深刻体会导数的作用与意义，并对一些现象要会做合理的解释．

(让学生体会到成功的喜悦，并及时将问题转入下一个函数) 2．函数y＝f(x)＝x的导数(板书) 活动设计：让学生集体来说，老师写．

设计意图

活跃课堂气氛．

Δyfx＋Δx－fxx＋Δx－x活动成果：因为＝＝＝1，

ΔxΔxΔx所以y′＝lim

x0Δy＝lim1＝1. Δxx0

(板书突出成果)

函数

y＝x

导数

y′＝1

提出问题：

问题：y′＝1表示的几何意义和物理意义是什么？

活动成果：y′＝1表示函数y＝x图象(如上图所示)上每一点处的切线的斜率都为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

设计意图

学以致用，让学生去思考更多的问题，让他们从中深刻体会导数的作用与意义，并对一些现象要会做合理的解释．

理解新知

探究1：在同一平面直角坐标系中，画出y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数的定义，求它们的导数．

(1)从图象上看，它们的导数分别怎样表示？

学情预测：它们的导数分别是2、3和4. (2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

学情预测：y＝4x增加得最快；y＝2x增加得最慢．

(3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？

学情预测：与系数k有关．

问题1：仔细观察能得到什么结论？从图象上看，它们的导数分别表示什么？

活动成果：都是一次项的系数；直线的斜率．

问题2：通过这几个函数导数的学习，你知道y＝f(x)＝kx的导数是多少吗？若知道，试根据用定义求导数的三个步骤推导以下结论正确吗？

按求导数的三个步骤，你能否推导出y＝f(x)＝kx＋b的导数？

活动成果：y＝f(x)＝kx的导数和y＝f(x)＝kx＋b的导数都是k. 设计意图

通过一系列的提问与活动，让学生能总结出一般性的结论来，并对几何意义与物理意义做出合理的解释，同时也加强学生的自主学习能力和触类旁通的学习意识．

(及时将问题转入下一个函数) 3．函数y＝f(x)＝x2的导数(板书) 提出问题：

问题1：函数y＝f(x)＝x2的导数是多少呢？

22222Δyfx＋Δx－fxx＋Δx－xx＋2xΔx＋Δx－x活动成果：因为＝＝＝＝2x＋Δx，

ΔxΔxΔxΔx所以y′＝lim

x0Δy＝lim

(2x＋Δx)＝2x. Δxx0

函数

y＝x2

导数

y′＝2x

问题2：y′＝2x表示的几何意义和物理意义是什么？

活动设计：给学生充分的时间去思考．

活动成果：y′＝2x表示函数y＝x2图象(如上图所示)上点(x，y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增加，函数y＝x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，函数y＝x2增加得越来越快．若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 设计意图

明白二次函数的导数是一次函数，学会对二次函数的几何意义做出解释．

变式1：求y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数．

学情预测：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数是y′＝2ax＋b.

问题3：凡导数是一次函数的函数，其原函数就是二次函数吗？

变式2：若y′＝2x＋3，且原函数过(1,9)，求原函数的解析式．

设计意图

对这类函数每求一次导数，次数就降低一次，为以后幂函数求导埋下伏笔．

14．函数y＝f(x)＝的导数(板书) x活动设计：整个过程中，要注意引导学生动手来做，要注意纠正运算中存在的错误和不足．

11－Δyfx＋Δx－fxx＋Δxxx－x＋Δx1活动成果：因为＝＝＝＝－2，

ΔxΔxΔxxx＋ΔxΔxx＋x·Δx所以y′＝lim

x0Δy11＝lim

(－2)＝－2. Δxx0xx＋x·Δx

函数

1y＝

x

5．函数y＝f(x)＝x的导数(板书)(学生自己去推导) x＋Δx－xΔyfx＋Δx－fx活动成果：因为＝＝(要学会分子有理化) ΔxΔxΔx＝x＋Δx－xx＋Δx＋xx＋Δx－x＝，

Δxx＋Δx＋xΔxx＋Δx＋xΔy＝lim

Δxx011＝. x＋Δx＋x2x导数

1y′＝－2

x所以y′＝lim

x0

函数

y＝x －导数

y′＝12x

推广：若y＝f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα1. 注意：这里n可以是全体实数．

运用新知

1例2(1)求曲线y＝f(x)＝在点(1,1)处的切线方程．

x1思路分析：按照导数的几何意义，只要求出函数y＝在点x＝1处的导数，即为该曲线x

在点(1,1)处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线方程．

1解：根据导数的几何意义可知，所求切线斜率为k＝f′(1)．由于f′(x)＝y′＝()′＝x1－2，因此k＝f′(1)＝－1.于是所求的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. x1(2)求过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．

x1思路分析：与(1)一样，只要求出函数y＝在切点处的导数，即为该曲线在该点处的切x线斜率，再利用直线的点斜式即可求出切线方程．但此题(2,0)点不是切点．我们就得设出切点，切点处的导数就是切线斜率，而切点与(2,0)点的连线的斜率就等于切点处的导数，因此问题迎刃而解．

1解：设切点为(x0，y0)，令f(x)＝y＝，根据导数的几何意义可知，所求切线斜率为kx111y0－01＝f′(x0)，由于y′＝()′＝－2，因此k＝－2＝，且y0＝.所以解得x0＝1，y0＝xxx0x0－2x01.于是所求切线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

(3)求曲线f(x)＝y＝x2过点(2,3)的切线方程．

解：因为点(2,3)不在曲线y＝x2上，故设切点坐标为(x0，y0)．

根据导数的几何意义可知，所求切线的斜率为k＝f′(x0)．由于f′(x)＝y′＝(x2)′＝2x，

y0－3因此k＝2x0＝且y0＝x20.所以解得x0＝1或x0＝3. x0－2当x0＝1时，切线方程为2x－y－1＝0；当x0＝3时，切线方程为6x－y－9＝0. 设计意图

在三个小题中，主要是求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程．求过曲线上一点的切线方程比较好求，按照导数的几何意义，只要求出函数在这点处的导数，即为曲线在该点处的切线斜率，再利用直线的点斜式即可求出切线方程．过曲线外一点的切线方程，我们就得先设出切点，利用切点处的导数等于切线斜率，而切点与已知点的连线的斜率也等于切点处的导数，从而列出方程，解出切点的横坐标，再求切线的斜率．

巩固练习

1已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝－2处的切线3平行．

(1)求直线l的方程；

(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．

解：(1)∵f′(－2)＝lim

x0f－2＋Δx－f－2＝0，

Δx∴直线l的斜率为0，其方程为y＝－1. (2)∵抛物线以点F(0,1)为焦点，y＝－1为准线，

p设抛物线的方程为x2＝2py，则＝1，p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y. 2变练演编

18已知曲线y＝x3上一点P(2，)，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线的方33程．

11解：(1)令f(x)＝y＝x3，∵y＝x3，∴f′(x)＝y′＝x2，f′(2)＝22＝4.∴点P处的切线33的斜率等于4. 8(2)点P处的切线的方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0. 3点评：(1)小题利用所学求得函数的导数，即得到了切线的斜率；(2)小题利用点斜式求得切线的方程．

达标检测

1．下列结论不正确的是(

) A．若y＝5，则y′＝0

B．y＝3x，则y′|x＝2＝3 1C．y＝－x3，则y′＝3x2

D．y＝x3，则y′|x＝－1＝1 32．函数y＝2x2＋3在x＝1处的导数等于(

) A．5

B．4

C．7

D．3 答案：1.C

2.B

课堂小结

本节课主要学习了

(1)

函数

y＝c y＝x y＝x2

1y＝

xy＝x y＝f(x)＝xα(n∈Q*)

(2)求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程的方法．

导数

y′＝0 y′＝1 y′＝2x 1y′＝－2

xy′＝12x－

y′＝αxα1

布置作业

已知：曲线y＝x2－1与y＝x3＋1在x0处的切线互相垂直，求x0的值．

拓展练习

1．已知曲线y＝x2上有两点A(1,1)，B(2,2)．

求：(1)割线AB的斜率；

(2)点A处的切线的斜率；

(3)点A处的切线方程．

2．过点P(0，－3)作曲线y＝x4的切线，求此切线的方程．

答案：1.(1)1；(2)2；(3)2x－y－1＝0. 2．4x－y－3＝0或4x＋y＋3＝0. 设计说明

本节内容是在学习了“导数的概念和导数的几何意义”等知识的基础上学习的，对于我们经常用的几个函数，利用定义求导数的三个步骤进行了研究，由于新教材未涉及极限，于是结合求导数的三个步骤和函数的图象，求出了几个常用函数的导数．在设计过程中不断地分析课本以及课本以外的知识，让学生通过动手作图，了解几个常用函数的导数，并能掌握它们的几何意义与物理意义．将求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程作为学习的重点，使学生学得更加深刻．

本节课注重以学生为主体，以教师为主导，每一个知识、每一个发现与对题目的分析，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔作图等活动后，再组织讨论，教师只是在关键处加以引导．

备课资料

求曲线y＝x3上哪些点的切线平行于直线y＝3x－3? 思路启迪：根据导数的几何意义，求曲线y＝f(x)上的切线平行于已知直线，即是求函数y＝f(x)在哪些点的导数与已知直线的斜率相等．

规范解法

解：设切点坐标为(x，y)，已知直线y＝3x－3的斜率k＝3，函数y＝x3的导数y′＝3x2.令3x2＝3，得x＝±1.当x＝1时，y＝1；x＝－1时，y＝－1.故所求的点是(1,1)或(－1，－1)．

点评：解此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义．

(设计者：马永刚)