3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计第二课时

人教A版课程标准实验教材

数学选修2－1 3.1.1空间向量及其加减运算

余姚中学

俞

萍

【教学目标】

(1)理解空间向量的有关概念，掌握其表示方法；

(2)掌握空间向量的加法、减法运算及它们的运算律；

(3)能借助图形理解空间向量的加减运算及其运算律的意义；

(4)通过平面向量的有关概念到空间向量的转化，培养学生类比、归纳、数形结合的思维能力。

【教学重点】空间向量的有关概念及加减运算．

【教学难点】用图形说明空间向量加减运算及其运算律．

【教学过程】

一、创设情境，复习引入

同学们好！我们开始上数学课。

（主编寄语）数学是有用的，学数学能提高能力；数学是自然的，数学是清楚的，学数学要摸索自己的学习方法。

在平时的数学学习中，我们经常会这样思考问题。

推广

↑

类比←当前内容→联系

↓

特殊化

古人云：温故而知新。让我们从已知的平面向量说起。

这是必修4一章《平面向量》。大家一起来回顾平面向量的知识。向量最初应用于物理学，跟以前学习的数量有所不同,既有大小又有方向的量；学习了向量的加法、减法运算，向量的数乘运算，向量的数量积运算，并在此基础上通过类比数及其运算，探究有关运算律。平面向量与我们数学中的平面几何联系密切,是一种解决部分平面几何问题的有效工具.

类比

联系

数及其运算

平面向量及其运算

平面几何

很自然地引发思考：难道向量只能是平面上的吗？平面向量能否推广？

（凭直觉）举出一个“似乎是空间中的向量”的例子．

①

熟悉的正方体；

②

杭州湾跨海大桥是我们宁波的骄傲；

③

同学们手中的笔；

④

钢板的受力。

展示图片，特点：不在同一个平面内。

二、类比推广，讲授新课

让我们大胆猜想：平面向量类比推广到空间向量，这种推广是继承和发展。

引出课题：

第三章

空间向量与立体几何

3.1.1 空间向量及其加减运算(一)类比学过的平面向量知识，大家来尝试着归纳出空间向量的有关概念：

1.空间向量：在空间，具有大小和方向的量叫空间向量。

2.向量的模（长度）：向量的大小。

3.空间向量的表示方法：

几何表示：用有向线段表示（如右图）；

代数表示：用字母AB或a等表示；

A aB 4.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0。方向如何?空间任意方向

5.单位向量：模为1的向量。方向呢?空间任意方向

在平面内，把所有单位向量的起点移到同一点，则所有向量的终点构成的图形是什么？圆

（类比）改成在空间呢？球面

6.相反向量：方向相反且模相等的向量。

7.相等向量：方向相同且模相等的向量。

强调指出：在空间同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。

我们由平面向量的概念类比归纳出了空间向量的有关概念，实现了知识的迁移，下面通过练习来巩固空间向量的概念。

（二）练一练

这是一个底面为平行四边形的四棱柱。大家数一数，这里有多少个平行四边形？

12个。六个表面，六个对角面。

很好！说出AB的相等向量，相反向量。

(三)空间向量的加减运算及运算律

“因为有了运算，向量的力量无限。如果没有运算，向量只是路标。”

1、平面向量能进行运算,因为有了运算而使平面向量得以广泛应用,回顾平面向量的加法和减法运算.首先要在平面内平移. 问:向量可以在空间平移吗?可以.平移后两个向量有公共起点,或首尾相接,这样向量所在的有向线段就确定了一个平面,又转化为平面内的向量了.体现了转化化归的思想

请大家拿起手中的笔一边比划，一边回忆空间两直线的位置关系,并思考空间向量是否可能异面呢? 空间中任意的两个向量可以转化为共面向量。

这样确定的平面唯一吗？

因为点O是空间中任意一点,所以这样确定的平面不是一个,而是一个互相平行的平面的集合,但研究解决问题时,一般只要在其中一个平面内考虑即可. 与平面向量类比,空间向量也能进行运算,下面我们一起探究空间向量的加减运算. 2、空间两个向量的加减运算

先复***面向量的加减运算：向量加法的平行四边形法则和三角形法则。（我示范，学生回答）并指出:因为空间的两个向量可以转化为共面向量，所以凡是涉及空间两个向量的问题，均可转化为平面向量问题解决，有关结论仍适用。

3 .空间向量加法运算的交换律和结合律

加法交换律：abba，因为只涉及两个向量，显然成立。

加法结合律：(ab)ca(bc)。

空间三个向量不一定共面，类比平面向量的加法结合律，猜测成立吗？如何证明？

分成两个小组，分别用三角形法则和平行四边形法则。可以考虑用笔做工具，加强直观感觉。（看时间，如果时间允许，就先不出来四面体和平行六面体），学生上台证明。

一、在右图的四面体中，计算：

A

(1)(ABBC)CD

(2)AB(BCCD)

(3)ABCDBCB

C

D

发现：①加法结合律成立，保证了三个以上向量运算的唯一性，保证了(4)ABBCCDDAABBCCD记号的合理性。

②空间三个向量加法的空间四边形法则：首尾相接的三个向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．

（推广到任意有限个都成立）

③特别地，首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．

二、在右图的平行六面体中，计算：

(1)(ABAD)AA1

(2)AB(ADAA1)

由此你发现了什么结论？

①加法结合律成立，保证了三个以上向量运算的唯一性，保证了ABADAA1记号的合理性。

②空间三个向量加法的平行六面体法则：三个不共面的向量的和等于分别以这三个向量为棱的平行六面体的对角线（与这三个向量有相同起点的对角线）。

三、反馈练习，深化提高

1、在右图的平行六面体中，计算：

ABADAA1

ABC1CD1A

2、挑战自我，应用实际

如图，一块均匀的正三角形面的钢板质量为500kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是600，且F1F2F3200kg。这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？

A F1F3OC F2GB

（分析）由题意，可得到一个正四面体。

进而得到一个平行六面体。（同一顶点的三条棱长度相等，两两成600角，求这个顶点的一条体对角线长度）

五、小结与反思

这节课你学到了什么？你还想学些什么？

1、空间向量及其加减运算；

2、三个不共面的向量的和等于分别以这三个向量为棱的平行六面体的对角线（与这三个向量有相同起点的对角线）。空间三个向量加法的空间四边形法则：首尾相接的三个向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．

（推广到任意有限个都成立）

3、类比、联系、特殊化的逻辑思考方法。

4、反思一：平面向量特殊化。直线上的向量。

空间向量

推广

平面

向量

特殊化

？

5、反思二：空间向量类比：平面向量

联系：立体几何。引出第三章：空间向量与立体几何。

六、作业与思考

类比

？

空间

向量

联系

？

1.空间四边形ABCD中，ABa ， BC＝b ， ADc ，

试用a,b,c来表示CD，AC,BD.并思考：空间三个向量不一定共面，什么情况下三个向量共面呢？

2、探究：类比平面向量，空间向量还有哪些运算,运算律呢？

3、你能解决钢板问题吗？