3.1.3 导数的几何意义教学实录及点评

§1.1.3导数的几何意义

天门市竟陵高级中学

曾志波

教学目标：

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2．理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率、割线的斜率

（二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？

二．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当Pxn,f(xn))(n1,2,3,4)n(趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

沿着曲线f(x)图3.1-2 我们发现,当点P这个确n沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

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问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无xnx0x0限趋近于切线PT的斜率k，即klimf(x0x)f(x0)f(x0)

x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

，得到曲线在点x(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，

即:

f(x)ylimx0f(xx)f(x)

x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数

3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函

2

数在点x0处的导数的方法之一。

三．典例分析

2例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.

2（2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数. [(1x)21](121)2xx2lim2, 解：（1）y|x1limx0x0xx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)limlim3(x1)6

（2）因为y|x1limx1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

2y(1x)2(1x)23x

解：xxy(1x)2(1x)2lim(3x)3

f(1)limx0xx0x例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h(x)4.9x26.5x10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．

解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）

当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

（2）

当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0，所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(x)4.9x6.5x10在tt1附近单调递减．

（3）

当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt2附近曲线下2

3

降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．

例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位：mg/mL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作t0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：k0.480.911.4

1.00.7所以

f(0.8)1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

t

0.2 药物浓度瞬时变化率f(t)

四．课堂练习

1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；

2．求曲线y五．回顾总结

4 '0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4 0.4 x在点(4,2)处的切线．

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．导数的几何意义

六．布置作业

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