小结教案公开课一等奖

导数章末复习教案设计

一、知识归纳：

（1）导数的概念、几何意义：

（2）单调性：

（3）极值：

（4）最值：

（5）实际应用：

二、知识结构图：

三、专题归纳整合

专题一

导数的几何意义：

(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率. (2)求切线方程的关键是搞清所给的点是不是切点. 例1、求抛物线

y＝x2＋4与直线

y＝x＋10在交点处的切线方程. 2y＝x＋4【解】

由得x2－x－6＝0,

y＝x＋10

∴x＝－2或x＝3,

∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13).

又y′＝2x,

∴y′|x＝－2＝－4,y′|x＝3＝6.

∴抛物线在点(－2,8)处的切线方程为:4x＋y＝0;

抛物线在点(3,13)处的切线方程为:6x－y－5＝0.

综上抛物线在与直线交点处的切线方程为:4x＋y＝0 或

6x－y－5＝0.

专题二

利用导数研究函数的单调区间：

在某个区间(a,b)内, 如果f′(x)>0,则f(x)在这个区间上为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)在这个区间上为减函数.应注意:在区间内f′(x)>0[或f′(x)<0]是f(x)在这个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,而不是必要条件.如果f(x)在某个区间上为增函数,那么f′(x)≥0;如果f(x)在这个区间上为减函数,那么f′(x)≤0.

利用导数研究函数单调性的步骤为:

(1)求f′(x);

(2)解不等式f′(x)>0 或

f′(x)<0;

(3)确定并指出函数的单调递增区间、减区间.

例2、已知函数f(x)＝ln x－2kx(k为常数),求函数f(x)的单调区间. 【解】

(1)由f(x)＝ln

x－2kx可得,

1f′(x)＝－2k,

x∵f(x)的定义域为(0,＋∞),

1∴当k≤0时,f′(x)＝－2k>0,

xf(x)在(0,＋∞)上是增函数.

11当k>0时,由－2k>0可得x<,

x2k1∴f(x)在(0,)上是增函数,

2k1在(,＋∞)上是减函数.

2k综上,当k≤0时,f(x)的单调增区间是(0,＋∞);

1当k>0时,f(x)的单调增区间是(0,),

2k1单调减区间是(,＋∞). 2k专题三

利用导数研究函数的极值和最值：

(1)应用导数求函数极值的一般步骤:

①确定函数f(x)的定义域;

②解方程f′(x)＝0的根;

③检验f′(x)＝0的根两侧f′(x)的符号,若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值.否则,此根不是f(x)的极值点.

(2)求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤:

①求f(x)在(a,b)内的极值;

②将极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

例3、已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点

x0处取得极小值－4,使其导函数f′(x)>0的

x

的取值范围为(1,3).

(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值;

(2)当x∈[2,3]时,求

g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值. 【解】

(1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)(a<0),

∴在(－∞,1)上f′(x)<0,f(x)为减函数;

在(1,3)上f′(x)>0,f(x)为增函数;

在(3,＋∞)上f′(x)<0,f(x)是减函数.

∴f(x)在x0＝1处取得极小值－4,在

x＝3 处取得极大值.

a＋b＋c＝－4，a＝－1，∴f′1＝3a＋2b＋c＝0，解得b＝6，f′3＝27a＋6b＋c＝0，c＝－9，∴f(x)＝－x3＋6x2－9x.

则f(x)在x＝3 处取得极大值

f(3)＝0.

(2) g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x＝－3(x2－2mx＋3),

令g′(x)＝－6x＋6m＝0,得x＝m.

①当2≤m≤3时,g(x)max＝g(m)＝3m2－9;

②当m<2时,g(x)在[2,3]上递减,g(x)max＝g(2)＝12m－21;

③当m>3时,g(x)在[2,3]上递增.g(x)max＝g(3)＝18m－36.

12m－21，m<2，2∴g(x)max＝3m－9，2≤m≤3，18m－36，m>3.

专题四

利用导数求参数的取值范围：

1.解不等式恒成立问题的方法

(1)利用函数的单调性的定义;

(2)利用导数法更简捷.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题,因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件,而其充要条件是:f′(x)≥0或f′(x)≤0,且f′(x)不恒为零.

2.利用导数法解决取值范围问题时的基本思路

(1)将问题转化为不等式在某区间上恒成立问题,利用分离参数或函数性质求解参数的取值范围,然后检验参数取“＝”时是否满足题意;

(2)先令f′(x)>0(或

f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再令参数取“＝”,看此时f(x)是否满足题意.

a例4、已知函数f(x)＝x2－ln x

2(1)若a＝1,证明f(x)没有零点;

1(2)若f(x)≥恒成立,求

a

的取值范围.

21【解】

(1)证明:a＝1时,f(x)＝x2－ln x(x>0),

21f′(x)＝x－.

x由f′(x)＝0,得

x＝1,可得f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,

1故f(x)的最小值f(x)min＝f(1)＝>0,所以f(x)没有零点.

221ax－1(2)f′(x)＝ax－＝,

xx111①若a>0,令f′(x)＝0,则x＝,故f(x)在(0,)上单调递减,在(,＋∞)上单调递增,故

aaa1111111f(x)在(0,＋∞)上的最小值为f()＝＋ln a,要使f(x)≥恒成立,只需＋ln a≥得

a≥1;

a222222a1②若a≤0,f′(x)<0恒成立, f(x)在(0,＋∞)上单调递减,f(1)＝≤0,故不可能有f(x)≥恒成立.

22

综上所述,a≥1.

专题五

利用导数解决实际生活中的最优化问题：

利用导数解决最优化问题的一般方法:

(1)分析问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化成数学问题,建立适当的数学模型y＝f(x),据实际问题确定y＝f(x)的定义域;

(2)求f′(x),令f′(x)＝0,得出所有实数解;

(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小,最大者为最大值,最小者为最小值;

(4)回归问题,写出答案.

例5、某商品每件成本

9 元

,售价

30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降幅

x (单位:元,0≤x≤30)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出

24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

【解】

(1)设商品降价

x 元,则多卖的商品数为

kx2,若记商品在一个星期内的获利为f(x),则依题意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2),又由已知条件

24＝k·22,于是有

k＝6,所以

f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072,x∈[0,30]. (2)根据(1),我们有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x

f′(x)

f(x)

[0,2]

－

单调递减↘

2

0

极小值

(2,12)

＋

单调递增↗

12

0

极大值

(12,30]

－

单调递减↘

故x＝12时,f(x)达到极大值. 因为f(0)＝9 072,f(12)＝11 664,所以当x＝12时,f(x)取得最大值,即定价为12元时,能使一个星

四、课堂练习：

1.当a取下列哪个值时，函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点

A.8

B.6

C.4

D.2

(

) 解析

f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，知可能的极值点为x＝1，x＝2，

且f(1)＝5－a，f(2)＝4－a，可见当a＝4时，函数f(x)恰好有两个零点. 2.

设函数f(x)＝ax2＋bx＋c

(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象的是

(

)

解析

设h(x)＝f(x)e则h′(x)＝(2ax＋b)e＋(ax＋bx＋c)e＝(ax＋2ax＋bx＋b＋c)e. xx2x2x由x＝－1为函数f(x)e的一个极值点，得当x＝－1时，ax＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，

x2∴c＝a.∴f(x)＝ax＋bx＋a.若方程ax＋bx＋a＝0有两根x1，x2，

则x1x2＝＝1，D中图象一定不满足该条件. 答案

D

22aa3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为

(

) A.(－1,1)

B.(－1，＋∞)

C.(－∞，－1)

D.(－∞，＋∞) 解析

设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数. ∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，

即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞).答案

B

4.设函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0). (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围. 解

(1)当k＝0时，f(x)＝－3x2＋1，

∴f(x)的单调增区间为(－∞，0]，单调减区间为[0，＋∞). 22，＋∞，0，2. x－，当k>0时，f′(x)＝3kx2－6x＝3kx∴f(x)的单调增区间为(－∞，0]，单调减区间为kkk(2)当k＝0时，函数f(x)不存在极小值；

28122当k>0时，依题意f ＝2－2＋1>0，即k>4，由条件k>0，得k的取值范围为(2，＋∞). kkk五、课堂小结：

利用导数来讨论含参数的函数的性质，要对参数进行分类讨论；已知函数的性质求参数范围，可转化

为导数满足的条件进行求解；实际应用题及一些不等式问题可构造函数解决；函数性质的讨论还要和图形结合起来.