小结教学实录

全称量词与存在量词

教学重点与难点：

1. 全称命题是含有全称量词（如“所有”、“任意”等）的全称量词

特称量词

存在一个

至少一个

某个

命题，特称命题是含有特称量词（如“存在”、“至少有”等）所有的

的命题。全称命题、特称命题互为否定时的替换量词如右表。

任意一个

P qp∧q

p∨q

¬q

真

真

真

假

假

真

假

真

2.

逻辑联结词“或、且、非”对应着集合运算中的一切

真

真

真

假

真

假

真

假

假

假

假

假

“并、交、补”，因此常常借助集合的“并、交、补”的意义来理解“或、且、非”三个联结词构成的复合命题，比如：

¬(p∧q)=(¬p)∨(¬q)痧(AUB)=(UA)(?B)、

U¬(p∨q)=(¬p)∧(¬q)痧(AUB)=(UA)(?B)，等。

U5.

复合命题的基本真假判断如左表。

教学内容设计：

例1 (1) (2012湖北省高考题)命题“x0ðRQ，x03Q”的否定是( )

（A）x0ðRQ，x03Q

（B）x0ðRQ，x03Q

（C）xðRQ，x3Q

（D）xðRQ，x3Q

(2)

(2012辽宁省高考题)已知p：x1,x2R,fx2fx1x2x10，则p是(

)

（A）x1,x2R,fx2fx1x2x10

(B)x1,x2R,fx2fx1x2x10

(C)x1,x2R,fx2fx1x2x10

(D) x1,x2R,fx2fx1x2x10

解：(1)原命题是特称命题，将存在量词替换成全称量词，将符号替换成符号，则得到原命题的否定，故选（D）。

(2)原命题是全称命题，将全称量词替换成存在量词，将符号替换成符号，则得到原命题的否定，故选（C）。

评注：①对命题的否定和否定是有差异的；②全称命题的否定“p：∀xM，p(x)”是特称命题“p：xM，p(x)”

；③特称命题“p：xM，p(x)”的否定

是全称命题“p：xM，p(x)”。

例2

是否存在x(0,2cosx、tanx、cotx构成等差数列？

)，使得sinx、cxott，xa

xsixn

解：假设存在x符合题意，则必有

coss即

(coxsixnxinxcos)sxcossin

。x0当cosxsinx时，x4，则22,,1,1不构成等差数列，舍去；

22当sinxcosxsinxcosx时，平方得sin2xcos2x12sinxcosx，

解得sinxcosx12，则sin2x222，这与sin2x(0,1)相矛盾，也舍去。

总之，不存在符合题意的x(0,2)。

cosx、tanx、cotx构成等差数列”评注：①“cosxsinxcotxtanx”只是“sinx、的必要条件；②如果一个结论的必要条件不成立，那么这个结论就必然不成立。

课堂训练：

1. 如果“P或q”是真命题，“P”是真命题，则下列说法正确的是（

）

（A）P真q假

（B）P真q真

（C）P假q真

（D）P假q假

2.

命题“对任意的xR,x2x10”的否定是

（

）

（A）x0R,x02x010

（B）x0R,x02x010

（C）不存在x0R,x02x010

（D）x0R,x02x010

3.（2011年安徽省高考题）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是

．．(A)

所有不能被2整除的整数都是偶数

(B)所有不能被2整除的整数都不是偶数

(C) 存在一个不能被2整除的整数是偶数

(D) 存在一个能被2整除的整数不是偶数

4.

给出下列命题：①x0R,x02x010；②x0R,x02x010；③至少有一个x0R,x02x010；④恒有x0R,x02x010。其中，假命题的个数为（

）

（A）1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

5. 下列命题是真命题的是（

）

(A)命题“若lnx1,则xe”的逆否命题是“xe，则lnx1”。

(B)若pq为假命题，则p、q都为假命题。

(C)命题p：xR,使得sinxsin2kx0,x00,2,kZ，则P：x1R使得



sinx1sink2x0或,(D)

“x1”是“xsxin1ikn20xs12”的充分不必要条件。

x0x,。

0,k2Z,课外训练：

6. 命题“a,ba，则b

7. “pq为假命题”是“p为真命题”的______________条件。

8. 已知两个命题p:xa1；q:f(x)

9.

若“xR,axx10”是假命题，则实数a的取值范围是

。

10. 已知“P:x(1,2)，使得函数fxlnxtx1有意义”。若P是假命题，则2实数t的取值范围是

。

。

”的否定________________是

命题（真、假）x23x有意义。如果p是q的充分不必要条件，则a取值范围是

。

22

11. 已知两个命题px:xR，sinx3cosxa恒成立；

qx:mx,a、nx,x1,mn0。

若对xR,pxqx为假命题，pxqx为真命题，求实数a的取值范围。

12.（1）（2011年北京大学等“北约”大学自主招生题）是否存在四个正实数，它们两两之积分别为2,3,5,6,10,16？

（2）是否存在x(0,

2)，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等比数列？

参考答案：

1. 答：（C）. 提示：“P或q”是真命题，P或q至少一个为真，“题。

2. 答：（B）。提示：交换，否定的是结论。

3. 答：（D）。提示：这里（D）中的“存在一个”是指“至少存在一个”。

P”是真命题，P是假命1334. 答：（B）。提示：xx1x，①假、③假。

244225答：（C）。提示：逆否命题是条件与结论否定后的交换；pq表示至少二者之一为假。

6.答：a,b//a，则b不平行；假。提示：多视角作图判断真假。

7.答：必要不充分条件。提示：pq为假命题，即p,q中至少一个为假，不能推出p为真；p为真，即p为假，pq为假成立。



8.答：[1,2]。提示：p:xa1或xa1，则p:a1xa1；q:x3或x0，则q:0x3;9.答：(,a13a10所以1a2。

，则a1]。提示：4a001，由于原命题是假命题，即a1，

4410.答：(,51使得tx1。

)。提示：P是真命题。可转化成x,2x2211.由于sinx3cosxa恒成立,则-13a，则可得“px:a2”。

可知px:x2axa0，所以0,即有4a0。

由于pxqx为假，px或qx至少有一个假命题，pxqx为真，px,qx至少有一个为真命题，即有qx,px中有一真一假，若px真qx假，则a4；若px假qx真，则2a0。所以，实数a的取值范围是

,42,0。

12.

（1）假定存在这样的四个正实数a、b、c、d，不妨设0abcd（假设这四个正数若有一对相等，则两两之积不可能为6个不同的实数），则ad,bc大小关系不能确定，于是分两小类：①若abacadbcbdcd时，则abdcdacbd得216310，ab2,ac3,ad5,bc6,bd10c，代入这是自相矛盾的；②若abacbcadbdcd，则同理推出矛盾。总之，不存在符合题意的四个正实数。

（2）假定存在x(0,2cosxcotxcos2x)合题意，则符，即sinxtanxsin2xcosx22coxscxos10x，

则，解得。此时检验,,1,1不是等比10sinx422sinxsinx数列，所以不存在符合题意的x。

课时总结反馈：

1.改写全称量词与特称量词，把问题转化为等价问题，简化问题的复杂性，培养学生逻辑推理的核心素养。

2.全称量词与特称量词不只是简单的改联结词，尤其是三个联结词构成的复合题，要分解成一个个简单问题，逐一进行判断。