1.4.3 含有一个量词的命题的否定国家优质课一等奖

1.4.3《含有一个量词的命题的否定》教学设计

【教材分析】

“含有一个量词的命题的否定”是数学选修1-1第一章第四节第3课时的内容，本课时包含两个知识点：其一是含有一个全称量词的命题的否定，其二是含有一个存在量词的命题的否定.教科书在“探究”后的分析中，并没有直接给出这些命题的否定的最终表述形式，而是根据全称量词和存在量词的含义，直接对原先的命题进行全盘否定，得到这些命题的否定的一种表述形式，通过六个“也就是说”将这些表述形式进行自然化和习惯化，从而得到这些命题常用的表述形式。通过这些命题的否定的最终表述，学生很容易观察出原先的命题和它们的否定在形式上的变化，从而降低了学生的认知难度. 【学情分析】

本课时是在学生已经学完必修教材的全部内容，学习一些常见的数学思想，如转化、形式化思想的基础上进行的.他们已经拥有了基本的模块知识和数学框架，对用数学符号表示数学命题的否定并不陌生.课本中许多数学也来自生活，对纯数学命题和生活中数学命题有一定的经验.这些都是学习本课时有利的保障和支撑. 学生在学习数学符号的过程中会存在一定的困难,这些困难的客观因素在于数学符号的高度抽象性、概括性和复杂行.所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在长期的学习中日积月累，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们. 教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法.要注意关注学生，不要把全称命题的否定形式和特称命题的否定形式直接告诉学生．注意引导学生积极参与知识的探究、讨论和交流等活动,引导学生总结判断全称命题与特称命题的否定的思想方法.不要简化知识的探究过程，同时也要防止练习中知识面太大而产生负迁移.

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【教学目标】 一、知识与技能目标

（1）通过探究数学中一些实例，使学生总结归纳出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题、变式训练和B组练习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

二、过程与方法目标

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

三、情感态度与价值观：

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

【教学重难点】

1、重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2、难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．

【教学过程】

一、情景问题引入

【问题1】什么叫全称命题？什么叫特称命题？

全称命题：含有全称量词的命题. 特称命题：含有存在量词的命题. 【问题2】常见的全称量词和存在量词有哪些呢？

常见的全称量词：对所有的、对任意一个、任给、对每一个、对一切、任何的等. 常见的存在量词：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的等. 【问题3】下列各命题是全称命题还是特称命题？

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（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个指数函数都是增函数；

2（3）xR,x2x1≥0；

（4）有些实数的绝对值是正数；

（5）某些平行四边形是菱形；

2（6）x0R,x01＜0. 分析：前三个命题都具有形式“xR,p(x)”，所有是全称命题，后三个命题都具有形式“x0M,p(x0)”，所以都是特称命题. 那么，对这样含有一个量词的命题如何进行否定呢？

这就是我们本节课将要学习的内容.

板书课题：1.4.3 含有一个量词的命题的否定

二、新课探究

探究1 全称命题的否定

【自主探究】写出下列命题的否定：

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个指数函数都是增函数； 2（3）xR,x2x1≥0. 【分析】命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形，即x0M,p(x0). 命题（2）的否定是“并非每一个指数函数都是增函数”，也就是说，存在一个指数函数不是增函数，即x0M,p(x0). 2命题（3）的否定“并非xR,x2x1≥0”，也就是说，2x0R,x02x01＜0，即x0M,p(x0). 【问题1】这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了特称命题. 【问题2】同学们能写出全称命题p: xM,p(x)的否定吗？

一般地, 对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论:

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全称命题p:xM,p(x)；

它的否定﹁p:x0M,p(x0). 【问题3】同学们发现了什么规律呢？

全称命题的否定是特称命题. 【问题4】全称命题的否定关键在哪里？

量词的变化(全称量词→存在量词). 例1 写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；

（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；

（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 解：（1）﹁

p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；

（2）﹁

p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；

（3）﹁

p：x0∈Z，x02的个位数字等于3.

【变式训练】写出下列全称命题的否定：

(1)p：所有的正方形都是矩形；

(2)p:xR,2xx≥0. 解：（1）﹁

p：存在一个正方形不是矩形；

3p:xR,2x (2)00x0＜0. 3探究2 特称命题的否定

【自主探究】写出下列命题的否定：

（1）有些实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

2

（3）x0R,x01＜0. 【分析】命题（1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；

命题（2）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一

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个平行四边形都不是菱形；

命题（3）的否定是“不存在x∈R,x2＋1＜0”，也就是说，x∈R,x2＋1≥0. 【问题1】这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题的形式上看，后三个特称命题的否定都变成了全称命题. 【问题2】你能写出特称命题p:x0M,p(x0)的否定吗？

一般地, 对于含一个量词的特称命题的否定, 有下面的结论: 特称命题p:x0M,p(x0),

它的否定﹁p:xM,p(x).

【问题3】同学们发现了什么规律呢？

特称命题的否定是全称命题. 【问题4】全称命题的否定关键在哪里？

量词的变化(全称量词→存在量词). 例2 写出下列特称命题的否定：

2（1）p：x0R,x02x02≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有一个素数含有三个正因数. 2

解：（1）﹁

p：R,x2x2＞0； （2）﹁

p：所有的三角形都不是等边三角形；

（3）﹁

p：每一个素数都不含三个正因数. 【变式训练】写出下列特称命题的否定：

2p:xR,x(1)002x03≤0；

2p

:至少有一个实数x0,使x010. (2) 解：(1)p:xR,x2x3＞0

. (2)2p

:

任意一个实数x,都有x210.

三、能力提升,运用新知

判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定：

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（1）每条直线在y轴上都有截距；

（2）每个二次函数的图像都与x轴相交；

（3）存在一个三角形，它的内角和小于180；

（4）存在一个四边形没有外接圆. 解：（1）∵

直线x=1与y轴没有交点，∴

在y轴上没有截距，

∴

该命题是假命题. 它的否定是：存在一条直线在y轴上没有截距. （2）∵当△＜0时，二次函数的图像不与x轴相交，∴

该命题是假命题.它的否定是：有的二次函数的图像不与x轴相交. （3）∵三角形的内角和都等于180.∴

该命题是假命题. 它的否定是：任意一个三角形，它的内角和不小于180. （4）如果一个四边形的内角的和不等于180，那么这个四边形就没有外接圆，∴

该命题是真命题.它的否定是：任意一个四边形都有外接圆. 【归纳】命题的否定绝不是“是”与“不是”的简单演绎.应注意命题中是否存在“全称量词”或“存在量词”. 思考1 命题的否定形式有哪些？

思考2 怎样否定下列常见量词呢？

四、小结与作业，归纳新知

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【小结】含有一个量词的命题的否定

结论：全称命题的否定是特称命题；

特称命题的否定是全称命题. 【作业】P26

的第

3题(1)(2)(3)(4).

五、课后训练，拓展升华

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