利用完全平方差公式进行因式分解优质课教案

4.3.2

公式法（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. （二）能力训练要求

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力. （三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力. ●教学重点

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. ●教学难点

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. ●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学***方差公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

而且还学***方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2

本节课，我们就要学***方公式分解因式. Ⅱ.新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. ［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解

因式的公式呢？

［生］可以. 将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. ［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点. ［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解. ［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍. 右边的特点：这两数或两式和（差）的平方. 用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式. 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

练一练

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2; （3）4a2+2ab+12b; 4

（4）a2－ab+b2; （5）x2－6x－9; （6）a2+a+0.25. ［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍. ［生］（1）是. （2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；

（3）是；

（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍. （5）不是，x2与－9的符号不统一. （6）是. 2.例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

（1）x2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9. ［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式. 解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2

（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2. ［例2］把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy. ［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式. 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式. 解：（1）3ax2+6axy+3ay2

=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2

（2）－x2－4y2+4xy =－（x2－4xy+4y2）

=－［x2－2·x·2y+（2y）2］

=－（x－2y）2

Ⅲ.课堂练习

a.随堂练习

1.解：（1）是完全平方式

1111x2－x+=x2－2·x·+（）2=（x－）2

4222（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求. （3）是完全平方式

12m+3 m n+9n2

411=（

m）2＋2×

m×3n+（3n）2

221=（

m +3n）2

2（4）不是完全平方式

2.解：（1）x2－12xy+36y2

=x2－2·x·6y+（6y）2

=（x－6y）2; （2）16a4+24a2b2+9b4

=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2

=（4a2+3b2）2

（3）－2xy－x2－y2

=－（x2+2xy+y2）

=－（x+y）2; （4）4－12（x－y）+9（x－y）2

=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2

=［2－3（x－y）］2

=（2－3x+3y）2

b.补充练习

投影片（§4.3.2 B）

把下列各式分解因式：

（1）4a2－4ab+b2; （2）a2b2+8abc+16c2; （3）（x+y）2+6（x+y）+9; mn2m2（4）－+n; 6144（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9; 12y24（6）xy－x－

5100解：（1）4a2－4ab+b2=（2a）2－2·2a·b+b2=（2a－b）2; （2）a2b2+8abc+16c2=（ab）2+2·ab·4c+（4c）2=（ab+4c）2; （3）（x+y）2+6（x+y）+9 =（x+y+3）2; mn2mmmm2（4）－+n=（）2－2××n+n2=（－n）2; 6121212144（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9 =［2（2a+b）］2－2×2（2a+b）×3+32

=［2（2a+b）－3］2

=（4a+2b－3）2; 12y24（6）xy－x－

510012y2=－（x－xy+）

51004yy=－［（x2）2－2·x2·+（）2］

1010y=－（x2－）2

10Ⅳ.课时小结

这节课我们学***方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式. Ⅴ.课后作业

习题4.5 1.解：（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2; （2）9－12t+4t2=（3－2t）2; （3）y2+y+11=（y+）2; 42（4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2; xx2（5）+xy+y2=（+y）2; 24（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2

2.解：（1）（x+y）2+6（x+y）+9 =［（x+y）+3］2

=（x+y+3）2; （2）a2－2a（b+c）+（b+c）2

=［a－（b+c）］2

=（a－b－c）2; （3）4xy2－4x2y－y3

=y（4xy－4x2－y2）

=－y（4x2－4xy+y2）

=－y（2x－y）2; （4）－a+2a2－a3

=－（a－2a2+a3）

=－a（1－2a+a2）

=－a（1－a）2.

3.解：设两个奇数分别为x、x－2,得

x2－（x－2）2

=［x+（x－2）］［x－（x－2）］

=（x+x－2）（x－x+2）

=2（2x－2）

=4（x－1）

因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除. Ⅵ.活动与探究

写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式. 分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解. 参考答案：

4a3b－4a2b2+ab3

=ab（4a2－4ab+b2）

=ab（2a－b）2

●板书设计

§4.3.2

公式法（二）

一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点

投影片（§4.3.2 A）

2.例题讲解

例1、例2 二、课堂练习

a.随堂练习

b.补充练习（投影片§4.3.2 B）

三、课时小结

四、课后作业

●教学反思

课后反思

本节课的教学设计借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的转换过程，并能用符号合理地表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。

课堂中的布局有待提高，以后应最大限度地发挥学生的主体作用部分例题可以交给学生独立完成，不能完全由老师来操办。

有意识地培学生逆向思考问题的习惯，不仪对提高解题能力有益，更重要的是可以改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习惯，提高学习效果、学习兴趣及思维能力和整体素质。