1.2.3 空间几何体的直观图教学设计(第二课时)

空间几何体的直观图

高考要求：

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．

3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直视图，了解空间图形的不同表示形式．

4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求)．

[知识梳理] 1．简单几何体

(1)简单旋转体的结构特征：

①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；

②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；

③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；

④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．

(2)简单多面体的结构特征：

①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；

②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；

③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．

2．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来

的一半．

3．三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．

[自主诊断] 1．一个简单几何体的正视图、侧视图分别为如图所示的矩形、正方形，则其俯视图不可能为(

)

A．矩形

C．椭圆

B．直角三角形

D．等腰三角形

解析：依题意，题中的几何体的俯视图的长为3、宽为2，因此结合题中选项知，其俯视图不可能是等腰三角形，故选D. 答案：D 2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(

) A．圆柱

C．四面体

B．圆锥

D．三棱柱

解析：圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱．

答案：A 3．如图，线段OA在平面xOy中，它与x轴的夹角为45°，它的长为22，OA的直观图O′A′的长为________．

解析：过点A作AB⊥Ox于B，

∵OA＝22，∠AOB＝45°，

∴OB＝AB＝2，线段OB的直观图O′B′＝2，A′B′＝1，

∠O′B′A′＝135°. ∴O′A′2＝22＋12－2×2×1×cos 135°，

∴O′A′＝5＋22.

答案：5＋22 4．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________．

答案：五棱柱

三棱柱

根据上面所做题目，请填写诊断评价

诊断评价

错题题号

错因(在相应错因中画√) 知识性

方法性

运算性

审题性

※

用自己的方式诊断记录

减少失误从此不再出错

考点一

空间几何体的结构特征

1．给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．其中正确命题的序号是(

) A．①②③

C．③

B．②③

D．①②③④

解析：对于①，棱柱的侧面不一定全等，故①错；对于②，截面与底面不一定平行，故②错；对于④，棱台的侧棱延长后相交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故④错；由面面垂直的判定及性质知③正确，故选C. 答案：C

解决空间几何体结构特征问题的3个策略

(1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力．

(2)构建几何模型、变换模型中的线面关系．

(3)通过反例对结构特征进行辨析．

[即时应用] 1．下列结论中正确的是(

) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

解析：当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形

或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．

答案：D 考点二

空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是考查重点，主要在选择题、填空题中考查，归纳起来常考角度有：

(1)由空间几何体判定三视图．

(2)由三视图还原几何体．

(3)空间几何体的三视图的有关计算问题．

命题点1

由空间几何体判定三视图

2．(2017·深圳调研)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是(

)

解析：由于三视图可见部分用实线画出，不可见部分用虚线画出，故选B. 答案：B 命题点2

由三视图还原几何体

3．(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(

)

解析：先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.

答案：B 命题点3

空间几何体的三视图的有关计算问题

4．(2017·昆明、玉溪统考)如图，三棱锥V-ABC的底面为正三角形，侧面VAC2与底面垂直且VA＝VC，已知其正(主)视图的面积为3，则其侧(左)视图的面积为________．

解析：设三棱锥V-ABC的底面边长为a，侧面VAC的边AC上的高为h，则ah4＝3，其侧(左)视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC131343上的高组成的直角三角形，其面积为2×2a×h＝2×2×3＝3. 3答案：3

几何体画三视图的2个关键点

(1)三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左右两边，俯视图在正视图的下边．

(2)注意实虚线的区别．

考点三

空间几何体的直观图

5.(2017·福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(

)

解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为22. 答案：A

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观2＝图4S原图形．

[即时应用] 2．已知△ABC是边长为a的等边三角形，则其直观图△A′B′C′的面积为________．

解析：如图所示，设△A′B′C′为△ABC的直观图，

O′为A′B′的中点．由直观图的画法知A′B′＝a，

13a3aO′C′＝2·2＝4，

1∴S△A′B′C′＝2·A′B′·(O′C′·sin 45°)

13a6a22＝2·a·×2＝16. 46a2即边长为a的等边三角形的直观图的面积为16. 6a2答案：16

授课提示：对应学生用书第114页

空间几何体的结构特征与三视图在命题中多在选择、填空题中出现，涉及空间几何体判断三视图与已知三视图还原几何体等问题，难度较低．

1．(2015·高考全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

)

1A.8

1C.6

1B．7

1D．5

解析：如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A-A1B1D1，其体积151为6，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为6，故所求比值为5.故选D.

答案：D 2．(2014·高考新课标全国Ⅰ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(

)

A．62

C．6

B．42 D．4 解析：如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD，最长的棱为AD＝422＋22＝6，选C.

答案：C 3．(2013·高考新课标全国Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(

)

解析：作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行正投影，分析其正视图形状．易知选A. 答案：A 4．(2015·高考全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

解析：(1)交线围成的正方形EHGF如图：

(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，

所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6. 1S四边形A1EHA＝2×(4＋10)×8＝56，

1S四边形EB1BH＝2×(12＋6)×8＝72. 97因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为7(9也正确)．