习题1.1第二课时 公开课

球和异面直线

一．选择题（共18小题）

1．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异是棱B1C1，C1C的中点，则异面直线BD1与MN所成的角的大小是（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

面直线AE与BC所成角的余弦值为（

）

A．B．C．D．

7．如图，四棱锥E﹣ABCD中，正方形ABCD的连长为2，△ABE为E为直角顶点的等腰三角形，平面ABE⊥平面ABCD，则该几何体外接球的表面积为（

）

2．一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为$（

）

A．C．

B．D．

A．12π

B．

3．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝2，D，E，F分别是BB1，AA1，A1C1的中点，则直线EF与CD所成角的余弦值为（

）

A．B．C．D．8π

8．在三棱锥E﹣ABD中，已知，三角形BDE是边长为2的正三角形，则三棱锥E﹣ABD的

外接球的最小表面积为（

）

A．C．

B．D．

C．0

D．4．底面边长为，侧棱长为2的正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面的中心）的外接球的表面积为（

）

A．C．16π

B．D．8π

的扇形围成一个圆锥，则

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同球面上，则该球的表面积为（

）

A．8π

B．9π

C．32π

D．36π

第1页（共12页）

一5．将半径为3，圆心角为该圆锥的内切球的表面积为（

）

A．Π

B．2π

C．3π

D．4π

6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别

10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为此三棱柱的外接球的表面积为（

）

A．12π

B．16π

C．28π

D．36π

，则15．如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABCD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

11．已知一个高为l的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为边长为2的等边三角形，内有一个体积为V的球，则V的最大值为（

）

A．

B．

C．

D．

16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线12．三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC，若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（

）

A．28π

B．20π

C．7π

D．5π

AD与A1C所成的角为（

）

A．C．

B．D．

13．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝，则该三

D﹣ABC中，

C．

D．

棱锥外接球的表面积为（

）

A．

B．16π

17．已知圆锥SO1的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8，母线SA＝12，点B在SA上，且SB＝3BA，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为（

）

A．27π

C．54π

B．36π

D．81π

14．如图，三棱锥，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为（

）

A．B．B．C．C．D．0

18．已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，球的半径为，则正四面体表面与球面的交线的总长度为（

）

A．4π

C．

B．D．12π

第2页（共12页）

A．

B．C．D．

球和异面直线

参考答案与试题解析

一．选择题（共18小题）

【分析】根据题意作出图形，利用直角三角形直接得1．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的半径，求体积．

【解答】解：

如图，由题意可知，

O′A＝3，OO′＝4，

∴R＝OA＝5，

A．

B．故选：C．

C．

D．

∴＝，

中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（

）

【分析】由题意知异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中可求角．

【点评】此题考查了球体积公式，属容易题．

3．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，【解答】

AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝2，D，E，F分别是BB1，AA1，A1C1的中点，则直线EF与CD所成角的余弦值为（

）

，所以AE＝，

解：取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90°，设AB＝2，

则BH＝HE＝1，AH＝连接ED，ED＝，因为BC∥AD，

所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝故选：D．

【点评】本题考查异面直线所成的角，属于简单题．

2．一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为$（

）

＝，

A．

B．

C．0

【分析】平移EF与CD，成GH，B1G，则∠B1GH即为异面直线所成角．

第3页（共12页）

则∴外接球的表面积为故选：A．

【解答】

取AC中点H，CC1中点G，连接GH，B1G，B1H，因为EF∥GH，B1G∥CD，所以∠B1GH即为异面直线所成角．

在△B1GH中B1G＝CD＝在△B1BH中，B1H＝B1GH＝0．

故选：C．

【点评】本题考查了异面直线所成的角，属于简单题．

4．底面边长为，侧棱长为2的正三棱锥（底面是正，GH＝，连接BH，，解得OA＝．

．

【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

5．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（

）

A．π

B．2π

C．3π

，所以由余弦定理知cos∠【分析】利用半径和圆心角的扇形弧长，即得圆锥的母线和底面圆周长，半径，作出轴截面，利用相似可得内切圆半径即内切球半径，得解．

【解答】解：半径为3，圆心角为2π，

故其围成的圆锥母线长为3，底面圆周长为2π，

B．D．8π

C．16π得其底面半径为1，

如图，MB＝1，AB＝3，

∴AM＝，

，

，

．

的扇形弧长为三角形且顶点在底面的射影是底面的中心）的外接球的表面积为（

）

A．

【分析】由题意画出图形，求出正三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解．

【解答】解：如图，

由相似可得：得：ON＝∴故选：B．

∵正三棱锥P﹣ABC的底面边长为形ABC的中心为G，

则AG＝．

．

【点评】此题考查了扇形弧长公式，圆锥内切球等，难度不大．

6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别第4页（共12页）

，设底面三角∵侧棱长PA＝2，∴高PG＝设正三棱锥的外接球的球心为O，连接OA，

是棱B1C1，C1C的中点，则异面直线BD1与MN所成的角的大小是（

）

A．30°

B．45°C．60°D．90°

【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD1与MN所成的角的大小．

【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，

则B（2，2，0），D1（0，0，2），M（1，2，2），N（0，2，1），

＝（﹣2，﹣2，2），＝（﹣1，0，﹣1），

A．12π

则cosθ＝＝0，

B．C．

D．8π

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

7．如图，四棱锥E﹣ABCD中，正方形ABCD的连长为2，△ABE为E为直角顶点的等腰三角形，平面ABE⊥平面ABCD，则该几何体外接球的表面积为（

）

设异面直线BD1与MN所成的角为θ，

【分析】取正方形ABCD的中心O，由题意可得O为四棱锥E﹣ABCD外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可．

【解答】解：如图，

∴异面直线BD1与MN所成的角的大小是90°．

故选：D．

取AB中点G，则G为△AEB的外心，

第5页（共12页）

连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接OG，则OG⊥平面AEB，

可得O为四棱锥E﹣ABCD外接球的球心，

．

∴三棱锥E﹣ABD的外接球的最小表面积为．

则外接球的半径为．

故选：C．

．

【点评】本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同，三角形球面上，则该球的表面积为（

）

一∴该几何体外接球的表面积为故选：D．

【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

8．在三棱锥E﹣ABD中，已知BDE是边长为2的正三角形，则三棱锥E﹣ABD的外接球的最小表面积为（

）

A．

B．C．D．

A．8π

【分析】由题意画出图形，可得AD⊥AB，取BD中点G，则G为△ABD的外心，设正三角形BDE得外心为O，可知当平面ABD⊥平面BDE时，三棱锥E﹣ABD的外接球的半径有最小值，由此求得答案．

【解答】解：如图，

B．9π

D．36π

【分析】由三视图还原原几何体，然后利用分割补形法求三棱柱外接球的半径，代入表面积公式求解．

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

C．32π

由，BD＝2，得AD⊥AB，

该几何体为直三棱柱，侧棱长为2，底面为直角三角形，且AB＝2，AC＝1．

把三棱柱补形为长方体，则长方体对角线长为取BD中点G，则G为△ABD的外心，

设正三角形BDE得外心为O，可知当平面ABD⊥平面BDE时，

三棱锥E﹣ABD的外接球的半径有最小值为OE＝第6页（共12页）

，

即三棱柱外接球的半径为．

故选：B．

【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查分割补形法，是中档题．

10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为此三棱柱的外接球的表面积为（

）

A．12π

B．16π

D．36π

【分析】由题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，求出底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．

【解答】解：由题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，

由底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所C．28π

，则

，外接球的表面积为【点评】本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键，是中档题．

11．已知一个高为l的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为边长为2的等边三角形，内有一个体积为V的球，则V的最大值为（

）

A．

B．C．D．

【分析】由题意画出图形，求出侧棱长，再由等积法求出三棱锥内切球的半径，则答案可求．

【解答】解：如图，

成的圆O的半径r＝2，

又由正三棱柱的侧棱长为心距d＝，

，则球心到圆O的球

设底面三角形ABC的中心为G，由△ABC是边长为2的正三角形，

得AG＝又PG＝1，∴PA＝，

，即三棱根据球心距d，截面圆半径r，球半径R构成直角三角形，

得R＝r+d＝7，

∴外接球的表面积S＝4πR＝28π．

故选：C．

2222锥侧棱长为．

．

．

r，则∴斜面底边上的高为h＝则一个侧面三角形的面积为设三棱锥内切球的半径为

，

第7页（共12页）

解得r＝．

∴V的最大值为故选：A．

【点评】本题考查多面体内切球体积最值的求法，训练了利用等积法求多面体体积，是中档题．

12．三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC，若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（

）

A．28π

B．20π

C．7π

．

故选：D．

．

【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

13．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝，则该三棱锥外接球的表面积为（

）

A．

D．5π

B．16πC．D．

【分析】由题意画出图形，可得底面三角形为直角三角形，求其外接圆的半径，进一步求得三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解．

【解答】解：如图，

【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案．

【解答】解：如图，

在底面三角形ABC中，由AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，

利用余弦定理，

设△PAB的外心为E，

∴AC+BC＝AB，即AC⊥BC，

取D为AB中点，则D为△BAC的外心，可得三角形ABC外接圆的半径为1，

设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，连接OP，则OP＝．

再设三棱锥P﹣ABC的外接球球心为O，则外接球半即三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R＝．

径R＝OA＝．

4π×设△PAB的外接圆半径为r，则，即r＝．

222

在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为G，

可得：由AB＝，得FG＝．

在△PAB中，由PA＝PB＝得cosP＝，AB＝，则sinP＝，

．

∴三棱锥球的外接球的表面积等于∴该三棱锥外接球的表面积为第8页（共12页）

．

故选：A．

【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．

14．如图，三棱锥D﹣ABC中，0，0），

＝（﹣，），＝（，0，），

设异面直线CM与BN所成角的平面角为θ，

则cosθ＝＝＝．

，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为（

）

∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为故选：A．

．

A．

B．D．0

【分析】取BC中点O，连结OD，OA，则OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM与BN所成角的余弦值．

【解答】解：取BC中点O，连结OD，OA，

∵三棱锥D﹣ABC中，，

点，

∴OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，

以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，

C（，0，0），A（0，，），N（，0），D（0，0，，0，），B（﹣），，

A．30°

B．45°C．60°D．90°

C．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

15．如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABCD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（

）

平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中【分析】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，从而BD＝，∠BAD＝90°，取BD中点O，连结M（0，AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD第9页（共12页）

＝OC＝，从而AO⊥平面BCD，延长CO至点力，考查空间想象能力，是中档题．

16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，从而∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由此能求出异面直线AD与BC所成角的大小．

【解答】解：由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD＝，

AD与A1C所成的角为（

）

∴∠BAD＝90°，

取BD中点O，连结AO，CO，

∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，

∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，

又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，

∴AO⊥平面BCD，

延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，

则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，

∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，

由题意得AE＝a，ED＝a，

∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，

∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．

故选：C．

故选：B．

D．

A．

B．

C．【分析】取B1C1的中点E，连A1E，DE，CE，∴A1E∥AD，所以异面直线AD与A1C所成角是∠EA1C，或其补角，在直角三角形A1EC中可求得．

【解答】解：取B1C1的中点E，连A1E，DE，CE，

∴A1E∥AD，所以异面直线AD与A1C所成角是∠EA1C，或其补角

易得A1E⊥平面BCC1B1，∴A1E⊥EC，

在直角三角形A1EC中，A1E＝B1C1＝×2＝1，CE＝＝，

＝＝，∴∠EA1C＝60°．

tan∠EA1C＝

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能第10页（共12页）

∴当截面圆最小时，OC＝R＝9，

截面圆半径r＝BC＝＝3，

∴过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为：

Smin＝π×r＝27π．

故选：A．

【点评】本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题．

17．已知圆锥SO1的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8，母线SA＝12，点B在SA上，且SB＝3BA，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为（

）

A．27π

B．36π

D．81π

【分析】设球半径为R，SO交AM于点M，则SM＝8，OA＝R，AM＝4，由勾股定理得R＝9．取AS，从而OB＝3，当C．54π

【点评】本题考查截面面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18．已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，球的半径为，则正四面体表面与球面2中点N，则BN＝3，ON＝3的交线的总长度为（

）

A．4π

B．C．

D．12π

截面圆最小时，OC＝R＝9，截面圆半径r＝BC＝＝3，由此能求出过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值．

【解答】解：设球半径为R，如图，SO交AM于点M，

则SM＝8，OA＝R，AM＝由勾股定理得：OA＝OM+AM，

∴R＝（R﹣8）+（422222【分析】求出正四面体内切球半径为1，由球的半径知球被平面截得小圆半径为2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为＝4，

30°，由此能求出正四面体表面与球面的交线的总长度．

【解答】解：∵正四面体A﹣BCD的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，

），解得R＝9．

2取AS中点N，则BN＝3，

ON＝∴OB＝

取CD中点E，连结BE，AE，过A作AF⊥底面BCD，交BE于F，

，

则BE＝AE＝第11页（共12页）

＝3，

＝3＝3，BF＝

＝2AF＝，DF＝＝，

＝4，设正四面体内切球半径为r，

则（4﹣r）＝（2径为r＝1，

∵球的半径为，

2）+r，解得正四面体内切球半22∴由球的半径知球被平面截得小圆半径为r1＝＝2，

故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30°，

∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：4×（3××2π×2）＝4π．

故选：A．

【点评】本题考查正四面体表面与球面的交线的总长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

第12页（共12页）