小结教学设计

直线和抛物线的位置关系教学设计

甘肃省金塔县中学：俞世平

教学目标：

知识与技能目标: 1.会从数与形两个角度判定直线与抛物线的位置关系。

2.会处理直线与抛物线相交形成的中点弦问题。

过程与方法目标：3.通过具体抛物线与直线位置关系问题的处理过程，归纳处理直线与圆锥曲线问题的基本思路和方法。

情感态度价值观目标：4. 渗透数形结合思想方法，提高学生分析问题与解决问题的能力.进一步优化思维品质和意志品质。

教学重点：利用方程和方程组法处理直线与圆锥曲线有关问题。

教学难点: 利用方程与方程组的有关性质获得解题的方法。

教学方法: 合作探究教学法；讲练结合法。

教具:多媒体课件. 教学过程

一、课前练习

1、直线y=x－1被抛物线y2=4x截得线段的中点的坐标为：（

） A（3，2） B（2，3） C（-2，-3） D（-3，-2）

2、若直线y=2x+m与抛物线y2=4x交于两点，则m的取值范围为 （以上2个问题在课前由学生独立完成，课内教师做简单点评）。

二、从形的角度探究直线与抛物线的位置关系

y 探究1.请哪位同学画出示意图,并说出直线与抛物线位置关系。

出示示意图，教师归纳直线与抛物线的位置关系有：相交、相切、相离

探究2.过定点A(-2, 1) 与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有几条？

1.请画出它的示意图。

2.根据示意图分析并回答它与椭圆和直线有一个交点

有什么联系和区别？

3.出示示意图，教师归纳结果三条，两条相切，一条相交。

二、从数量关系角度探究直线与抛物线的位置关系问题的处理方法

探究3.经典问题剖析: 已知抛物线y2=4x,斜率为k且过定点A(0, 1)的直线l，在下列情况下分别求k的取值范围：（1） l与抛物线有且仅有一个公共点；（2） l与抛物线恰有两个公共点；（3） l与抛物线没有公共点. 处理方法：教师引导学生共同分析找出解题思路，并由学生完成解题过程。对学生中出现的其它想法教师要及时给予肯定和点评。下面给出的两种思路是这种问题的最常见的方法。

o F x y x y

思路：由于直线过定点，所以可以直接设直线的点斜式方程为：y=kx+1与y2

= 4x联立方程组，由根与系数的关系即可获解。（详细解题过程用ppt课件展示）

小结：这种方法是解析几何中处理直线与圆锥曲线问题的常规思路，属于通性通法的范畴；熟练掌握对于处理直线与圆锥曲线问题具有十分重要的意义。

归纳应用方程组法判断直线与抛物线位置关系的基本步骤：

课堂变式训练：若直线y=2x+m与抛物线y2=4x交于两点，求m的取值范围。

三、中点弦问题

探究4.经典问题剖析与引申：

已知M（2，1）是抛物线y2＝4x与直线l两个交点的中点，求直线l的方程. 引导学生合作交流、讨论、探究、展示完成，教师作点评。

思路一：依据探究3和探究4两个问题的共同点（都是直线与圆锥曲线相交于两点）和不2同点(本题是求直线方程问题)，故可设直线l的方程为：y=k（x-2）+1，联立抛物线方程y＝4x，消去y，由两个交点的中点可以找到k的等量关系，可以获解。

思路二：思路一是学生解决此类问题最容易选择的方法，但运算过程比较复杂，消去x，由两个交点的中点可以找到k的等量关系，可以获解。运算过程简单些。

思路三：设两个交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)（显然k不为0），线段AB的中点为M(x0，y0) y12=4x1 ……① y22=4x2

…… ②

由①－②得：(y1-y2)( y1+ y2)=4(x1－x2)，

4y1y2==2……③ 所求直线方程为y=2x-3. x1x2y1?y2观点方法提炼：通过前面的几个例子我们已经注意到了这类问题的处理策略，

1．设两交点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，将其代入直线或曲线的方程，得到相关数学关系

2．将直线与曲线的方程联立组，消元得到关于x（或y）的一元二次方程，应用韦达定理得到x1＋x2 与 x1x2 （或

y1＋y2与

y1y2）

3．整合问题的已知条件和1与2中的关系式，结合解题目标进行运算变形和推理来达到解题目的（要注意由一元二次方程的判别式等构造不等关系来确定变量的范围）。

4．通过以上的例题分析和总结，我们还应该体会到“代入”与“加减”的处理策略和解析几何“整体处理，设而不求”

、方程与方程组、数形结合等数学思想。

5．提醒同学们一定要细心体会

（1）设交点－－－毫不犹豫

（2）找关系－－－细致审题

（3）巧变形－－－善于积累

（4）数形合－－－直观启发

（5）数运算－－－耐心专心

6.归纳提升处理中点弦问题常用的方法有：联立直线方程与曲线方程求解和点差法

7.课堂变式练习2：已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B，求AB中点M的轨迹方程. 引导学生合作交流、讨论、探究、展示完成，教师作简单点评（方法交流过程见幻灯片）。

四、观点方法提炼

探究5:直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断方法：

1．根据几何图形直接判断

2．通过直线与圆锥曲线的公共点的个数判断

归纳提炼，形成通法

注意：直线与圆、椭圆双曲线、抛物线相交的特殊情况

处理直线与曲线位置关系问题的基本步骤：设出未知元素（直线、曲线、交点）；通过直线和曲线方程组成的方程组得到一元二次方程；整合方程关系与已知条件得到问题解（压缩成设、列、整合三步）

五、课外作业

1.cp98 3、19、20 2.课外通过小组学习共同体合作交流用多种方法处理下面的问题准备下一节课交流：已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M，N关于直线y=-kx+9/2对称。求k的取值范围。

3．已知椭圆C：3x2+4y2=12，试确定m的取值范围，使椭圆C上有不同的两点关于直线y=4x+m对称。

六、板书设计

直线和抛物线的位置关系 一、位置关系的判定 数 形

二、中点弦 （方程组法

，点差法）

六、课后反思