3.2.1 几个常用函数的导数设计意图

3.2.1

几个常用函数的导数

一、知识与技能：

1 .能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题；

2. 掌握五个公式，理解公式的证明过程；

3. 掌握利用导数求切线的方程的方法。

二、过程与方法：

1. 通过本节的学习，使学生掌握由定义求导数的三个骤，推导五种常见函数y = f (x) =c，1y= f (x)=x ，y = f (x) =x2，y = f (x) =x，y = f (x) =

的导数公式；

x2. 掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数。

三、情感态度与价值观：

1. 通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识；

2. 注意培养学生归纳类比的能力

。

四、教学目标：

1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；

2. 掌握五个公式，理解公式的证明过程；

3. 利用导数求切线的方程。

五、教学过程：

⑴

复习

1、

函数在一点处导数的定义；

一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬间变化率是

f(x0x)f(x0)ylimlim，

x

x0xx0

我们称它为f(x)在点xx0处的导数，记为f(x)，或y|xx，

f(x0x)f(x0)yf(x)limlim. x0xx0

即：x

2

、导数的几何意义；

曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率．

3、求函数的导数的步骤。

（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)；

yf(xx)f(x)（2）求平均变化率x；

xyf(xx)f(x)

limlimyf(x)（3）取极限，得导数=．

x0x=x0x

简称:一差、二商、三极限.

⑵新课讲解

1.函数

y = f (x) =c 的导数

yfxxfxccy因 0所以 y'limlim00

x0xxxxx0

y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0. 0

若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0则为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止。

2.函数

y= f (x)=x

的导数

yfxxfxxxxy因为 1所以 y'limlim11

x0xx0xxx

y=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1 若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动

拓展

函数

y= f (x)= kx

的导数

yfxxfxkxxkxkxkxkx因为 k

xxxx

y

所以 y'limlimkkx0

xx0

探究

在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?

如图，画出它们的图象，

（1）从图象上看，它们的导数分别

表示各条直线的斜率；

（2）在这三个函数中，y4x增加

得最快，y2x增加得最慢；

（3）函数ykx(k0)增加的快慢

与k有关系，即与函数的导数有关

系，k越大，函数增加的越快，k越小，函数增加的越慢.

函数ykx(k0)减少的快慢与k有关系，即与函数导数的绝

对值有关系，k越大，函数减少的越快，k越小，函数减

少的越慢．

3.函数

y = f (x) =x2 的导数

22222yfxxfxxxxx2xxxx2xx

因为 xxxx

所以 y'limylim2xx2xx0xx0

探究

11、画出函数

y



的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线x方程.

12、已知函数

f

(

x

)

直线L 为曲线y = f (x)的切线且过点(3,-1)，求直线L的方程

x

提示：点(3,-1)是否在直线上？如何求直线方程？

解：设切点为P(x0,y0)，直线的斜率：

1kf(x0)

x0，

直线l的方程为：yy0k(xx0)，

11y(xx0)

即：

x0x0

又因为直线l过点(3,1)，

11

1(3x0)

所以：，解得：x01

x0x0

所以所求的切线方程为：y1(1)(x1)，即：xy20．

5.函数

y = f (x) =

x

的导数

1yfxxfxxxxxxxxxx

因为 xxxxxxxxx

y11

所以 y'limlimx0xx0

xxx2x

x课堂小结

一

几个常用函数的导数

1.若

f (x)=c, 则f

(x)=0 ; 2.若

f (x)=x, 则f (x)=1 ; 3.若

f (x)=x2 ,则f (x)=2x

二

函数的导数的不同角度意义的解释

三

利用导数求切线方程的方法

11,则f'x2xx15.若fxx,则f'x2x4.若fx

课后作业

必做题：

1．已知圆面积Sr，根据导数定义求S(r)．

2f(x)x2．已知,求f(3)．

23yx3．求过曲线上点(1,1)的切线的直线方程．

2y2x1的斜率等于4的切线方程．

4．求曲线选做题：

1．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最

tA(t)5000.834初有500克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为，

问氡气的散发速度是多少？

yx2．由四个常用函数的导数，能否归纳(Q*)的导数？