习题2.3教学内容概述

《必修2》

“空间中的垂直关系”教学设计

班级：高二（11）班 教师：黄桂枝 时间：第8周星期三第5节（2018.10.24）

【考情分析】

线线、线面、面面的垂直关系是本章的重点，其判定与性质之间并非孤立的，而是存在线线、线面、面面垂直关系的相互转化. 在高考中，选择题、填空题中多考位置关系的判断及结合逻辑关系进行考查，解答题以第一问为主，其中线面垂直是重中之重. 【教学目标】

1. 知识与技能：了解空间中线面垂直、面面垂直的定义；掌握判断空间中线面垂直、面面垂直的方法；运用线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理解决问题．

2. 过程与方法：学生能把线线、线面、面面的垂直关系串联起来，构建良好的知识体系；通过设置的恰当问题与习题，掌握解题规律，总结解题方法. 3. 情感与态度：发展合情推理能力，同时感悟和体验数学中的转化与化归、数形结合的数学思想方法. 【教学重点】熟练掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用.

【教学难点】判定定理和性质定理的交替运用，同时还要贯通三种垂直关系，即直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的相互转化. 【学科素养】

站在“育人”的高度，重新认识高中数学课堂教学，改进教与学的方式，从而落实《普通高中数学课程标准》的基本理念，落实数学学科核心素养.在教学中激发学生的求知欲，调动学生学习中如何能知其然，更知其所以然，真正了解结果的内涵，并将它与自己的知识体系内的相关知识联系起来，体会其中的涉及的数学思想，最终能将所学的知识学以致用. 【教学过程】

一、

知识回顾

1. 空间中直线与直线垂直的常用方法有：

①等腰三角形的三线合一；

②勾股定理的逆定理；

③三角形两内角互余，则第三角为直角；

④正方形、菱形的对角线互相垂直；

⑤矩形、正方形的内角；

⑥若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任意一条直线；

⑦圆的直径所对的圆周角是直角；

⑧利用平行转化，即a//b,bcac

2.直线与平面垂直

(1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. (2)判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

判定定理

a∩b＝O⇒l⊥α

l⊥al⊥ba，b⊂α1

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性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行.

a⊥α⇒a∥b

b⊥α(3)证明线面垂直的其他方法：

①利用平行线垂直于平面的传递性（a//b,a②利用面面平行的性质（ab）；

,//a）；

③利用面面垂直的性质（,l,a,ala）

3、平面和平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

（3）证明面面垂直的其他方法：//,

【设计意图】首先基于学科素养中的学科基础知识，若掌握基本概念，就会达到触类旁通，举一反三的效果. 其次复习课必须要有“主题”. 复习“主题”决定了复习方向，体现了复习目标.本节课的“主题”明确为空间中垂直关系的证明，把零散的数学知识串联成一个有机的整体主题，把纷繁复杂的内容归拢集中到知识构架上，从而使本节课主旨凝聚、线索明晰、结构缜密, 进而达到化零为整、化繁为简、简约高效、印象深刻的效果.

l⊥α⇒α⊥β

l⊂β

α⊥βl⊂β⇒l⊥α

α∩β＝al⊥a二、典型例题

【例1】

(2016·北京卷，18 改编)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，CDAC2,AD2.

(1)求证：DC⊥平面PAC；

(2)求证：DC⊥PA；

(3)求证：平面PAB⊥平面PAC.

练习1.

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，

(1)求证：BE⊥平面PAB；

(2)求证：平面PBE⊥平面PAB.

2

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【知识小结】多面体中的垂直关系

①凡涉及线面垂直、面面垂直等诸多知识点的综合题，解决问题的关键是转化：

线线垂直线面垂直面面垂直. ②在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加. 【师生活动】师生共同探究，在培养学生严谨的逻辑推理意识的同时，也培养学生观察、探究、分析、论证的能力，体会类比的数学思想，形成一定的思维策略.学生只有真正参与到知识的探索过程中来才会对知识的本质有着深刻的理解和认识，进而形成一定的知识体系.

【设计意图】“我所解决的每一个问题都将成为一个范例，用以解其他问题.”迪卡儿的这句名言很好地诠释了典例问题的重要性.例1的设计采用“一题多问”，包括了线线垂直，线面垂直，面面垂直三种证明题型，解题过程中对证明思路进行阐述，采用逆推的方法，从结果往前推到明显成立的条件，培养学生逆向的逻辑推理能力.整个推理过程让学生小组合作讨论,让学生在潜移默化中做到自主学习.学生自主地接受学习，积极地思考，学会从不同的角度看问题, 同时用自己的方法去解决问题.从中学生不仅锻炼了逻辑思维能力，也掌握了学科素养中的学科基本技能，即通过重复练习与反馈，个人习得的一套程序性知识并按这套程序去办事的能力. 【例2】如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将

△ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD. (1)求证：CD⊥平面PBD

(2)求证：PB⊥平面PDC

(3)求证：平面PBC⊥平面PDC

【知识小结】折叠问题中的垂直关系

①平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键．一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法. ②当条件中有面面垂直时，一般要用到性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用. 【师生活动】让学生用卡纸做模型，引发学生探究的热情，体现学科素养.注意选择合适的时机、恰当的组织方式进行问题探究、传授（或渗透）数学思想方法，正确把握“学生为主体，教师为主导”的思想.

【设计意图】本例题主要是考察学生对图形的加工和变换能力.学生在初中学过三年的平面几何，虽已初步具备图形的想象能力，但对二维平面图形向三维平面图形的转化不易理解甚至很难掌握.尤其要求学生从熟知的平面跳跃到空间进行一系列的论证计算，他们会感到很不习惯，这直接影响他们对立体几何内容的理解.本题的解决方法可以通过制作实物模型，学生在大脑中形成一种直观的认识，化抽象为形象，赋予平面图形立体的感觉.学生以小组为单位亲自制作模型并观察哪些量变了，哪些量没有变，手脑并用，在建构模型的过程建立空间概念，培养空间想象能力，最后通过掌握“线线垂直”，“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用，采用逆向的逻辑推理解决问题. 三、高考真题

点线面的位置关系是高考试题中的必考内容，高考大纲对这部分知识的要求主要是证明线线、线面、面面的平行和垂直关系或者求体积. 1.（2017全国卷1，18）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90．

3

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(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC，APD90，且四棱锥P-ABCD的体积为8，求该四棱锥的侧面积．

32.（2017北京卷，18）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

(1)求证：PA⊥BD；

(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．

3. (2015·全国卷Ⅰ，18)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. (1)证明：平面AEC⊥平面BED；

(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD 的体积为

6，求该三棱锥的侧面积．

3四、总结提升

1、根据证明思路书写完整证明过程，格式要规范，有理有据. 2、三种垂直关系的转化示意图：

五、课后作业

1.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.

证明:AB⊥平面VAD

V D

C 4 A B

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2.(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是(

) A.①②④

B.①②③

C.②③④

D.①③④

2，D是A1B1中3. 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？

4．探究题: 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，PA

O所在的平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC，AFPB，则三棱锥PABC是不是鳖臑？

给出下列结论：①AEBC；②EFPB；③AFBC；④AE平面PBC，哪一个是对的？

六、板书设计

投影平台

例题解析

七、教学反思

本节课从教学开始阶段，引导学生进行知识点回顾，对所学的知识进行整理归纳总结，初步在脑海里形成相关的知识构架；从教学中间阶段，通过对两个典例的学习、应用，逐步体验观察、分析、推理、证明的过程，在培养学生严谨的逻辑推理意识的同时，也培养学生5

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观察、分析、推理、证明的能力，并形成一定的思维策略；从教学结尾阶段，让学生内化空间中垂直关系的原理与本质，形成扎实的思维技巧. 各个环节紧密相连.华罗庚教授说过, “生书熟讲, 熟书生讲”.因此，本节课不仅仅局限于对原有知识的回顾，而是使学生在复习中有新的发现、新的“收获”.我们常说要“抛砖引玉”，其实复习仅仅是“砖”，而学生的“收获”才是我们梦寐以求的“玉”. 总之，本节课要抓好双基复习, 加强对空间图形的画、看、做、想四方面的训练, 同时处理好逻辑思维能力和空间想象能力之间的联系.

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