习题2.3优秀课堂实录

课题：直线与平面垂直的判定（一）

教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修②

授课教师：鸡西实验中学

徐成凤

【教学目标】

知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生理解直线与平面垂直的定义和判定定理，并能对它们进行简单的应用；

过程与方法目标：通过对定义的总结和对判定定理的探究，不断提高学生的抽象概括和逻辑思维能力；

情感态度与价值观目标：通过学习，使学生在认识到数学源于生活的同时，体会到数学中的严谨细致之美，简洁朴实之美，和谐自然之美，从而使学生更加热爱数学，热爱生活．

【教学重点及难点】 教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．

教学难点：对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．

【教学方法】

教法：启发诱导式

学法：合作交流、动手试验

【教具准备】

计算机、多媒体课件、三角形卡纸

【教学过程】

一、直线与平面垂直定义的构建

1、联系生活——提出问题 在复***面的三种位置关系后，给出几幅现实生活中常见的图片，让学生思考其中旗杆与地面、竖直的墙角线与地面、大桥的桥柱与水面之间的位置关系属于这三种情况中的那一种，它们还给我们留下了什么印象？从而提出问题：什么是直线与平面垂直？ 设计意图：使学生意识到直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况并引出本节课的课题．另外这样设计也吸引了学生的注意力，激发了学生的好奇心，使其主动参与到本节课的学习中来．

2、创设情境——分析感知 播放动画，引导学生观察旗杆和它在地面上影子的

位置关系，使其发现：旗杆所在直线l与地面所在平面内经过点B的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线l与平面内不经过点B的直线垂直吗？

设计意图：在具体的情境中，让学生去体会和感知直线与平面垂直的定义．

3、总结定义——形成概念 由学生总结出直线与平面垂直的定义，即如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直．引导学生用符号语言将它表示出来．然后提出问题：如果将定义中的“任意一条直线”改成“无数条直线”，结论还成立吗？

设计意图：让学生通过思考和操作(用三角板和笔在桌面上比试)，加深对定义的认识．

二、直线与平面垂直判定定理的构建

1、类比猜想——提出问题 根据线面平行的判定定理进行类比，通过不断的猜想和分析，最终提出问题：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？

设计意图：不少老师都在本环节中进行了一些有益的尝试，但考虑到学生的认知水平，我仍然决定采用类比猜想的方法，从学生已有的知识出发，进行分析．

2、动手试验——分析探究 演示试验过程：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）．

A

B D C

D C A B问题一：同学们看，此时的折痕AD与桌面垂直吗？

又问：为什么说此时的折痕AD与桌面不垂直？

设计意图：让学生从另一个角度来理解直线与平面垂直的定义——只要直线l与平面内有一条直线不垂直，那么直线l就与平面不垂直．

问题二：如何翻折才能让折痕AD与桌面所在平面垂直呢？﹙学生分组试验﹚

设计意图：通过分组讨论增强数学学习氛围，让学生在交流中互相学习，共

同进步．

问题三：通过试验，你能得到什么结论？在回答此问题时大部分学生都会直接给出结论：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．此时注意引导学生观察，直线AD还经过BD、CD的交点．请他们思考在增加了这个条件后，试验的结论更准确的说应该是什么？

A lB D C mA n

又问：如果直线l与平面内的两条相交直线m、n都垂直，但不经过它们的交点，

那么直线l还与平面垂直吗？

设计意图：提高学生抽象概括的能力，同时也培养他们严谨细致的作风．

3、提炼定理——形成概念 给出线面垂直的判定定理，请学生用符号语言把这个定理表示出来，并由此向学生指明，判定定理的实质就是通过线线垂直来证明线面垂直，它体现了降维这种重要的数学思想．

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号语言：

lm，ln，m，n，mnA

l．

三、初步应用——深化认识

1、例题剖析：

例1 下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：AC⊥平面BDD1B1. 下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：AC⊥平面BDD1B1.

证明：∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，

lmA n∴BB1⊥平面AC，

又AC⊂平面AC，∴BB1⊥AC．

又四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．

又BD⊂平面BDD1B1，BB1⊂平面BDD1B1，BB1∩BD＝B，

∴AC⊥平面BDD1B1. 设计意图：不仅让学生学会使用判定定理，而且要让他们掌握分析此类问题的方法和步骤．

例2 如图，在三棱锥A-BCD,CB=CD,AB=AD. 求证: AC⊥BD. 证明：取BD中点为E，连接AE，CE，

∵AB＝AD，∴AE⊥BD. 又∵CB＝CD，∴CE⊥BD. 而AE∩CE＝E.∴BD⊥面AEC. 又∵AC⊂面AEC，∴AC⊥BD. 设计意图：用展台展示部分学生的答案，督促学生规范化做题．

A

B

E D C

针对性练习：如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证: (1)BC⊥平面PAB；

(2)AE⊥平面PBC；

(3)PC⊥平面AEF. 证明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC．

∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．

又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．

(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，

∴AE⊥平面PBC．

(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，

∴AE⊥PC．∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，

∴PC⊥平面AEF.

四、当堂检测

1.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）与平面ABCD垂直的直线有____________________________ （2）与直线AB垂直的平面有______________________________

2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(

) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直

3．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(

) A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直

C．l在平面α内 D．不能确定

4.如图，圆O所在一平面为 ,AB是圆O的直径，C在圆周上,且PA⊥AC, PA⊥AB. 求证：（1）PA⊥BC （2）BC⊥平面PAC

思考：在第4题中，若AN⊥PC，垂足为N.求证：AN⊥平面PBC.

五、总结回顾——提升认识

线面垂直的定义

线线垂直线面垂直的判定定理

线面垂直

如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．

六、布置作业——巩固认识



必做题：习题2．3 B组2，4．



选做题：如图SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F．

求证:AF⊥SC．



探究题：课本66页的探究题．