阅读与思考 欧几里得《原本》与公理化方法ppt配用优秀教学设计

欧几里得《原本》与公理化方法

台州市第一中学

谢尚军

一.教材分析

人教A版高中数学教科书设立了“章头图和引言”、“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”等拓展栏目.“欧几里得《原本》与公理化方法”是人教A版高中数学教材必修二第二章章末的阅读与思考，是在已经完整的学习立体几何的基础上学习的内容，也是基于学生对公理化方法有一定感性、具体的认识之后学习的内容，因此本节阅读材料的出现，丰富了教材内容，激发了学生学习数学的兴趣，拓展了学生的数学活动空间，同时帮助学生理清第二章立体几何的知识脉络，建立知识体系，学会整理知识结构的学习方法. 本篇“阅读与思考”教材安排先介绍欧几里得编著《几何原本》的历史及《几何原本》给世界带来的重大影响，然后介绍了什么是公理化方法及其作用，因此本节教材编写的意图在于使学生了解数学发展的历史，丰富学生的数学文化知识，培养学生追求知识起源的动力，学习古人的数学精神，并学会利用公理化的思想方法去解决问题和认识世界.

欧几里得《几何原本》作为现代数学之源，它的重要性并不在于书中提出的哪一条定理.书中提出的几乎所有的定理在欧几里德之前就已经为人知晓，使用的许多证明亦是如此.它的重要性在于建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理），而整个的理论体系都是由定义、公理和公设演绎而出的.《几何原本》所表现的已不仅是数学中的真理，更为重要的是它借助数学表现了一种认识世界、表述世界的理性的思维方式. 二.学情分析

本节课是在学生已经学习了第二章立体几何之后的一则阅读材料，在第二章的点线面的位置关系中，有4条公理、9条定理以及一些推论.本阅读材料的学习有利于学生宏观了解数学几何学体系，使用公理化方法去整理第二章知识结构，从而达到进一步理解、掌握立体几何的知识，形成完整的知识网络.同时高二的学生已经具有一定的综合、分析、归纳和迁移的能力，能够初步使用公理化方法迁移整理其他章节的知识，或者现阶段应用于其他学科，从更长远的角度来说，1

还可以帮助自己建立一个理性思维，甚至建立自己的公理化系统.但是由于数学公理化方法表述了数学理论的简捷性、条理性、以及结构的和谐性，学生要真切深刻地理解公理化方法还有一定的难度，尤其很难深刻认识公理化方法作用.因此基于学生的实际情况，教学的重点难点放在公理化方法及其作用上，并且设计一些具体的使用公理化方法的案例来突破难点. 三.教学目标 1.了解古希腊数学家欧几里得著作《几何原本》，感受《几何原本》对历史的重大价值，加强对公理化方法的重视. 2.了解并体会前人证明定理的过程，从而提炼出公理化方法的基本概念.理解什么是公理化方法，感受证明过程中的科学性、条理性、严谨性. 3.了解公理化方法对其他学科的示范作用以及在促进新理论时的作用，提升对数学学科的自豪感，养成用数学的眼光看世界的习惯. 教学重点：

1.欧几里得著作《几何原本》. 2.了解并体会前人证明定理的过程，从而提炼出公理化方法的基本概念，理解什么是公理化方法. 教学难点：

了解并体会前人证明定理的过程，从而提炼出公理化方法的基本概念，理解什么是公理化方法. 四.难点突破策略分析 让学生通过本节课的学习，了解并体会前人证明定理的过程，从而提炼出公理化方法的基本概念，理解什么是公理化方法是本节课的一个难点，为此首先让同学们收集资料并同学介绍欧几里得及其著作《几何原本》，在其过程中加强学生对《几何原本》价值、作用的认识，从而提高体会前人证明定理的过程的兴趣与重视.学生通过收集资料，初步认识公理化方法，在理解《几何原本》证明定理的方法后，学生自己尝试证明第二章的平面与直线判定定理等，经历自主探究，小组合作等渠道深入研究证明的过程，体会在证明的过程中严密的逻辑思维，更进一步理解公理化方法，达到循序渐进突破难点的目的. 五、课前准备

2

课前安排小组提前查询阅读资料，解决以下几个问题：

《几何原本》是什么背景下诞生的？之前的几何学是什么样的情况？《几何原本》有什么意义和影响？

六.教学方法

课前查资料、学生讲解分享、小组探究讨论、教师启发引导式、数学实验证明、类比. 七.教学过程

1.引入

师：学完必修二第二章，你们学到了什么几何知识？

生：线面平行定理、线面垂直定理……

师：这么多知识，你能有逻辑地排序吗？能把他们归纳成完善的体系吗？

师：如何构建体系，我们不得不提到一位古人. PPT：展示人物图片.

师：他是谁？

生：欧几里得. 设计意图：从学完第二章出发，让学生回顾所学知识，学生能报出一些知识点，再追问他们能否构建体系，学生会感觉到比较困难，从而引出欧几里得《几何原本》的公理化方法，通过简单明了的欧几里得图片，引出本节课主题. 师：在课前，我请一小组同学们查询了关于欧几里得《几何原本》的一些资料，现在资料已放到我电脑里，那么今天也请同学们当一回老师.请小组派代表上讲台为同学们分享他们组收集到的信息. 2.学生分享

生：（PPT展示）

《几何原本》作者简介：

3

姓名

•欧几里得

国籍

生卒

职业

•古希腊

•公元前330年—公元前275年

•数学家

代表作品

作为教材的影响

•《几何原本》

两千多年来，作为欧洲数学的基础，《几何原本》被广泛的认为是历史上学习数学几何部分的最成功的教科书. 哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多蜚声中外的学者都曾学习过《几何原本》，并从中吸取了丰富的营养，从而创造出许多令世人惊叹的伟大成就. 爱因斯坦：“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家.”

《几何原本》诞生背景：

在《几何原本》出现之前，古希腊人已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识缺乏系统性，大多数是零碎的知识，并没有太多联系，更不要说对其进行严格的逻辑论证和说明. 而随着当时社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经刻不容缓，成为科学进步的大势所趋. 欧几里得敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势，他详尽地搜集了当时的几何知识，把前人的数学成果加以系统地整理总结，用严密的演绎逻辑，构建出一个严整的体系，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》. 《几何原本》内容：

这部书囊括了几何学从公元前7世纪的古希腊，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——总共400多年的数学发展历史. 《几何原本》共有13篇，首先给出的是一些定义和5个公理、5个公设，竟然严密地推理出全书467条定理和推论.

论证方法上的影响

4

关于几何论证的方法，欧几里得提出了综合法、分析法和归谬法（反证法）.这些都是我们之前刚刚学过的证明方法. 《几何原本》的传播

中国最早的译本是1607年徐光启和意大利传教士利玛窦合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而来.该译本确定了许多我们现在耳熟能详的几何学名词，如点、直线、平面、相似等. 设计意图：以学生为主体，发挥学生的主观能动性，激发学生的兴趣，搜集资料，并通过学生讲解锻炼学生的表达能力.同时学生讲课，同学们反而更有兴趣，课堂更有效活跃.了解古希腊数学家欧几里得及其著作《几何原本》，感受《几何原本》对历史的重大价值，强化对公理化方法的重视. 3.回归课本

师：是啊，《几何原本》影响如此之大，甚至影响了一批又一批的伟大科学家，那我们今天也来学一学《几何原本》里面最有价值的公理化方法.首先，我们需要认识一下什么是公理化方法，我们请语文课代表朗读一下课本第75页第4、5、6段. PPT：展示课本的图片，对这几段内容放大. 生：

数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（公理、公设）出发，应用严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法.

基本概念是一些不加定义的原始概念，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更基本的概念去定义的，如中学教学中的点、直线、平面、集合等都是基本概念. 公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定.如“过两点至少有一条直线”“经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”等都是作为公理的命題. 设计意图：回归课本，回归教材，理解教材对公理化的解释.通过学生的阅读，能让学生更好地学习较为枯燥的知识. 4.《几何原本》案例

5

师：同学们能理解这段话吗？这段话有些抽象，公理化方法到底是什么样的方法呢？我们不妨翻开《几何原本》，看看那时候欧几里得是如何运用公理化方法证明如此多的命题.

PPT：（展示图片）

……

师：《几何原本》有23个定义. 师：什么是公设？《几何原本》中有“公设”与“公理”之分，近代数学对此不再区分，都称“公理”. 师：什么是公理？

公理是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题. 6

师：那么公理与定理有什么区别？

公理：公理不用证明.

定理：用公理经过逻辑推理形成. 师：定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础.全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的.比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证.都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明.下面是《几何原本》中的第一个命题.

生：（证明该命题）.

师：（解释命题证明过程）. 设计意图：本节课介绍《几何原本》，不能讲到最后，学生连《几何原本》里面什么样都不了解.通过《几何原本》简单的第一个命题初步认识《几何原本》的内容、结构、书写特点，以及了解欧几里得是如何证明定理的.体会前人证明定理的过程，提炼出公理化方法的基本概念，从而对公理化方法有一个初步的印象.为接下来的公理化证明的小组合作做铺垫，为突破本节课教学难点做铺垫.PPT采用图片展示的模式，相较用文字，阅读更省力，不枯燥. 5.探索新知

师：欧几里得就是这样以仅仅5条公理、5条公设和一些定义一步步推出了7

467条定理和推论.我们今天就来模仿一下欧几里得证明定理的过程.当然我们选取贴近我们现在知识的定理，哪个定理呢？我们必修二的第二章的立体几何内容刚好是《几何原本》的一部分，而这则材料又在第二章末，那么我们就借助第二章的知识来体验一下公理化方法吧.

师：首先，我们需要确定有几个定理.同学们记得必修二第二章中有哪些公理吗？

生：翻书查找. PPT：

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

师：那必修二第二章从这些公理推出了哪些定理？

生：平行判定与性质定理、垂直判定与性质定理、等角定理.

师：请同学们小组讨论证明线面平行的判定定理. 证明：（线面平行的判定定理）

若平面外的一条直线与平面内的一条直线

平行，那么这条直线与这个平面平行. 用符号语言表示：a，b，且a||ba||.

生：（小组讨论）. 生（上台板演）：

证明：（反证法）假设直线a与不平行，a，a与相交，设a=A那么Ab，否则abA与a||b矛盾；

过点A在内作直线c||b,a||b，a||c.A，Ac，即acA，这与a||c矛盾.假设不成立，原命题成立.师：我们借助公理四和反证法证明了线面平行的判定定理，接着你们能否证8

明：

已知：不在同一平面的点A、B、C、D构成空间四边形ABCD，E，F分别是线段AB，AD的中点.求证：EF||平面BCD.

生：

证明：连接BD，AEEB，AFFD，EF||BD(三角形中位线的性质).由直线与平面的判定定理得EF||平面BCD.

设计意图：选取必修二第二章的知识证明，更贴近学生所学的知识和实际需求.通过具体的例子让学生体验公理化证明，理解什么是公理化方法，感受证明定理过程的科学性、条理性、严谨性.第二个例子是想让学生能联想到从公理推出定理，再从已证的定理出发推出新的命题，如此循环，其实就是欧几里得能从这么少的公理推出这么多的命题的原因所在.

6.深化概念

师：我们借助之前的线面平行判定定理证明了刚刚的结论，实际上，我们借助刚刚的结论，又能推导出其他的几何结论.反思第二章，由4条公理，得到线面、面面的位置关系，从而有了这些判定定理、性质定理，同学们也是顺着这个9

EF平面BCD，BD平面BCD，

知识体系逐步学习的第二章点、线、面的位置关系.根据刚才我们的例子，同学们能想象欧几里得是如何通过5个公理、5个公设为基础，证明467个命题和推论吗？

生：从公理出发推出定理，再以定理为条件推出更多的命题. 师：同学们有很棒的猜想，那我们来看看欧几里得是否跟同学们猜想的一样呢？

PPT：

师：（简单展示）我们刚才看了《几何原本》的第一个命题，那我们来看一下第二个、第三个命题是怎么证明的. 10

师：（简单展示）以命题1为条件，证明了命题2.

师：（简单展示）以命题2为条件，证明了命题3. 师：如此类推，同学们能理解欧几里得如何通过公理化方法，从少数公理、11

公设吃饭，证明这么多个命题，构造出几何体系了吗？你们能描述一下什么是公理化方法吗？

生：（回答什么是公理化方法）.

师：《几何原本》的重要性并不在于它所论证的哪条具体定理，书中几乎所有的定理和证法在欧几里得以前就为人所知晓.欧几里得的伟大贡献在于他对教材的编排和大纲的制订.他首先挑选出了经过长期实践的反复检验、证明其正确性的5条公理和5条公设作为基础，接着认真地编排这些公理和公设，一个定理被证明以后，又可以用它作为理论依据，去推导出新的数学定理来.这样，就可以用一根逻辑的链条，把所有的定理都串联起来，让每一个环节都衔接得丝丝入扣，循序渐进，无懈可击.他在必要的地方补充了缺少的步骤，提出了缺少的证据.从此，古希腊丰富的几何学知识，形成了一个逻辑严谨的科学体系.由区区5个公理5个公设，竟能推导出那么多的数学定理来，这是一个奇迹！2000多年后，大科学家爱因斯坦仍然怀着深深的敬意称赞道：这是“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹”.而且，这些公理公设，多一个显得累赘，少一个则基础不巩固，其中自有很深的奥秘.后来，欧几里得独创的陈述方式，也就一直为历代数学家所沿用. 设计意图：通过《几何原本》前三个命题的证明过程（简单展示），和之前学生自己从公理推出定理，再从已证的定理出发推出新的命题的循环，让学生理解欧几里得从5条公理和5条公设作为基础构造出几何体系过程，从而深化理解公理化方法的概念与运用方法. 7.拓展提升

师：这就是公理化方法，公理化方法的有哪些作用呢？

12

师：（1）概括整理数学知识. 例如：欧几里得用公理化方法把零散的几何知识整理著成《几何原本》.

师：课后探索：小组合作，从必修二第二章的四个公理出发，推理证明书本里的相关几何结论，梳理高中几何体系（作业1）. 师：展示教材P80页知识结构图，让学生可以借鉴这个思路构建知识体系. 师：（2）促进数学新理论的创立. 例如，非欧几何就是在研究和应用公理化的过程中产生的. 师：兴趣研究：查阅相关资料，概述非欧几何的产生背景及发展历程（作业2）. （3）对其他学科有示范作用. 例如：

爱因斯坦狭义相对论的公理化：

公理1

相对性原理. 公理2

光速不变原理. 笛卡尔哲学的公理化：

公理1

我思故我在. 公理2

每一现象必有原因. 公理3

效果不能大于它的原因. 公理4

心中本来就有完美、空间、时间和运动的观念. 还有人口学的公理化、城市经济学的公理化、投票选举的公理化等等诸多学科理论都采用公理化方法. 设计意图：在分析公理化方法作用的过程中顺其自然布置作业，让学生知道作业的来源价值，有兴趣完成作业.学生在学习理解公理化方法的基础上进一步认识公理化方法对整理知识体系、发现新的数学理论以及其他社会学科发展的重大作用，从而提高学生对公理化方法的重视，提升对数学学科的自豪感，养成用数学的眼光看世界的习惯. 八、课堂小结

师：通过本节课的学习你有什么收获吗？

生：1.欧几里得及其著作《几何原本》的相关知识；

13

2.从公理化方法角度体验高中立体几何中的线面平行的判定定理的证明；

3.公理化方法的概念、作用. 九.布置作业（已在拓展提升中布置）

1.小组合作，从必修二第二章的四个公理出发，推理证明书本里的相关几何结论，梳理构造高中几何体系. 2.查阅相关资料，概述非欧几何的产生背景及发展历程.

14