2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学内容分析

空间中直线、平面的垂直关系

大同市同煤一中 李勇

【教学内容解析】 本节课是人教A版教材必修2中第二章第三节的内容，属于一节关于性质的新授课．其中直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质是教学的重点．本节是在学生掌握了线面垂直、面面垂直的判定之后紧接着研究的其性质．线面平行、面面平行研究了性质定理，为本节课提供了研究方法．线面、面面垂直是线线垂直的拓展，又是空间垂直的基础.通过本节课的学习研究，可进一步完善空间垂直与平行的知识结构，更好地培养学生几何直观、空间想象、推理能力，培养了学生的数学核心素养，体会类比、转化等数学思想方法．

【教学目标设置】 1.通过对生活中的实例的观察和分析，让学生具体实际操作、直观感知、发现猜想、推理证明、归纳直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质定理． 2.在探究性质的活动过程中，学生通过独立思考与合作交流，直观感知、发现猜想、操作确认、推理证明等来体现出学生逻辑推理能力和几何直观能力，培养学生的数学核心素养． 3.学生运用特殊化、类比、正难则反、转化等数学思想，体验了研究空间位置关系的一般方法. 4.在探究性质的过程中，体会数学与生活的和谐之美，体验探究发现过程中的乐趣，培养善于实验观察、勇于探索的良好习惯，激发学生的应用意识和创新精神.

【学生学情分析】

1.学生已经具备的认知基础 通过前面知识的学习，已经掌握了线线、线面、面面平行的判定和性质以及线面、面面垂直的判定的相关知识，而且学生也能够感知生活中有大量的线线、线面、面面垂直，从而具备了研究空间位置关系的经验，也体会了立体几何中转化、类比的数学思想方法. 2.达成教学目标所需要具备的认知基础 要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，还需要整体上把握本节课的研究内容、方法和途径，能运用转化、类比等数学思想，同时具备较好地直观感知，发现猜想、逻辑推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.

3.在直线与平面、平面与平面垂直的条件下，有哪些特殊的位置关系学生类比平行或通过直观感知可以清楚的说出来；但直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的转化与联系还是比较模糊；空间位置关系的认识仍停留在平行关系之间的转化、垂直关系之间的转化上，平行与垂直关系之间的联系未能建立起来，还有对垂直之间的推理证明很难下手，不知所措，教师应当给予指导和讲解. 4.教学难点及突破策略 教学难点：探究和推理论证直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，突破“空间向平面”、“平面向直线”、“平行与垂直”、“线线、线面与面面”的转化.

突破策略：

①入手时，教师通过从生活上和内容上进行启发，让学生明确探究的内容方向和研究方法. ②教师引导学生经过“直观感知、发现猜想、操作确认、推理论证、小小总结”的学习过程来得到线面垂直、面面垂直的性质定理. ③教师通过学生对问题串的回答、交流、来展示思维活动过程，来达到相互启发的目的. 【教学策略分析】 1.教师创设情境，启发设问，学生观察，形成关于线面、面面垂直的性质定理的直观感知.

2.教师引导点拨，学生明确按照“直观感知、发现猜想、操作确认、推理论证、小小总结”的研究程序，强化空间位置关系的常用研究策略——降维（空间问题平面化）.

3.教师设计问题串，使学生主动参与交流讨论，强化知识建构、体现合作探究，调动学生的数学思维活动. 4.教师对性质应用进行分层设计，学生加深性质理解，掌握知识间的联系，形成系统知识体系. 【教学过程】

教学活动

师生活动

设计意图

教师复习前面所学与本节课有关的的内容，

教师引导学生回忆，学生产生联想，进行知识

复教师：复习前两节课的所学内容，一是线线、间的对比和模仿学习。

习线面、面面平行间的相互转化，涉及到判定、

回性质、定义。二是线面平行是非常重要的角

顾

色，它是桥梁，纽带，起到连接的作用，使

平行之间实现相互转化。

2.三种垂直关系

引学生大脑里马上萌生

出出各种垂直，有生活中课教师：除了平行的关系外，我们还研究了一的实物，也有数学中的题

种特殊的关系——垂直，涉及到三种垂直关图形，把生活知识数学系，线线垂直，线面垂直，面面垂直，我们化

在上节课研究了线面垂直和面面垂直的判

定。

3.垂直间的关系

学生初步建立起垂直之间的相互关系，充满

了猜想和不确定性，迫教师：从而实现了线线垂直到线面垂直，线不及待的希望得到正面垂直到面面垂直的推导。类比于平行，垂确的结论，来肯定自直是否也可以实现相互转化呢？这就是我们己。

本节课所要研究的内容，线面垂直和面面垂直的性质定理。

问题1

已知线面垂直能得到什么呢？

教师：线面垂直可以得什么？

教师提出问题，让学生

学生思考，学生回答

去探索和发现

学生一：面面垂直和线线垂直。线面垂直得

面面垂直那是面面垂直的判定，上节

内课我们已经学过，那我觉得往线线上容去想呢？这是一个未知的领域。线面探垂直可以得线线垂直。

究

教师：怎么就可以得到线线垂直呢？除了已

知的垂线，其他的线在哪里找呢？

学生：在平面内，可以把平面转化为直线，

还可以用定义来解释其成立。

复习三个知识点

1.

平行间的关系

结合平行关系，突出平行间的相互转化，体现线面平行的重要地位，类比平行去为研究垂直的转化提供方向，使得知识间的联系更加紧密。

引出课题主要研究内容

通过引入问题来激发学生的探知欲，让学生去发散思维，充分结合生活，去体验和感知所得的结论，并能够的到验学生和教师思想发生

证。

碰撞，解决疑惑，肯定

学生所想，引导学生实

现探究

引导学生把面的问题转学生分析回答

化为线的问题，从而实

现平面问题直线化

内容探究

教师继续抛出问题，引

发学生的思考并作答，让学生明确按照“直观结合生活照，对比来得感知、发现猜想、操作出结论

确认、推理论证、小小

总结”的研究程序来得

到结论

教师通过教学设计的五步探究过程，得到结比较直观的体现出线线论

的平行位置关系，也好

让学生去体会生活中的

位置关系

学生思考线线的来源，

观察图片，发现其中的

平行直线来自哪里？

学生：树是垂直于地面的，树之间是平行的。

教师引导学生发现这培养学生的推理能力和军人是垂直于地面的，军人之间是平行的。

些线是来源于平面外判断能力，要敢于探索，教师：根据直观感知，同学们发现的很好，的，教师要展示平面内敢于猜想，带着发现的那么我们是不是可以得到什么样的猜想呢？

的线是不行的，面外的眼光去看问题

学生：垂直于同一个平面的两条直线平行。

线只有垂直是可以得

教师：那我们就初步形成它的一些相关语言。

到想要的结论的

问题2：线面垂直可以得线线平行吗？

教师：线面垂直能不能得到线线平行呢？

学生思考，学生回答

学生二

：我觉得可以

教师：线从哪儿来呢？

学生：在平面内找不可能，应该在平面外去找，一种斜线，一种垂线，应该是垂线，就像我现在和您的位置关系一样。

老师：结合现成的例子，回答的很好，那么下面看图再直观感知一下，能从图中找到就像我们的影子吗？

学生总结，猜想结论

教师展示出猜想的图形语言，符号语言，文字语言

根据猜想，初步完善猜想内容，转化为数学语言

培养学生推理的能力，要靠综合的思维能力和思想方法来证明猜想的结论，要形成一个完整的推理过程，因为数学是严谨的

本节课的难点，教师解读，帮助学生理解

我们把猜想初步确认，正确与否有待证明，下面我们就来推理证明一下。

教师：这是要证明线线平行的，大家可以想想你曾经有哪些证明平行的方法？

教师指出猜想的重要性，但还要证明才能肯定结论

请一位同学来回答一下

学生三：证明平行的方法有利用内错角同位

学生回答证明平行的角同旁内角证明平行、利用相似证明平行、方法

利用平行四边形证明平行、利用平行的传递

性来证明平行、利用线面平行的性质证明平学生思考如何来证明行等。

平行，选择什么样的方

法能证明

学生：正面这些方法都不足以证明，缺条件，

内容探究

因此选择反证法来证明。

那下面我们就来用反正法来证明一下

通过证明，我们可以得到同学们的猜想是正确的，这也就得到了我们今天的一个主要内容就是线面垂直的性质定理——垂直于同一个平面的两条直线平行，简称（线面垂直，线线平行），前面得到的线线垂直是线面垂直的定义。

下面简单的小结一下

教师说反证法的过程，学生去体会

帮助学生肯定了结论，提升了学生的学习热情

教师整理所讲内容

强调证明平行的新方法和垂直的转化

总结出内容的精华，便于学生记忆和掌握，也提出了新方法和转化思想，让学生去体会垂直之间的推导

下面我们来看一下昨天我们学习过的面面垂直的判定定理。引出问题3

问题3

学生活动，判断命题的正确性

教师提问学生，学生回答不正确的理由

教师：有正确的情况吗？什么情况下可以使得此结论成立呢？

学生四：平面内的一条线垂直于交线的情况可以判断是正确的。

教师：这是同学们直观感知后的猜想，那我们就初步形成它的一些相关语言。

让学生理清头绪，把握学生细想所学内容，对内容的联系，压缩内容，知识进行系统的处理

形成体系，方便记忆，

要有归纳的意识和思教师展示内容

想，要把知识变厚为薄，

掌握其内涵和真谛

学生回顾知识

学生思考命题的正确

性，教师指导学生活动

培养学生的推理能力和

判断能力，要敢于探索，

敢于猜想，带着发现的教师通过展示，确定学眼光去看问题

生所得

学生总结，猜想结论

根据猜想，初步完善猜教师展示出猜想的图想内容，转化为数学语形语言，符号语言，文言

字语言

教师指出猜想的重要

我们把猜想初步确认，正确与否有待证明，下面我们就来推理证明一下。

教师：下面我们分析一下，要证线面垂直，这是我们上节课所学的内容，就需在平面内找两条垂线，现成已经有一条，那需要在确定一条，另一条在哪儿？

学生五：结合面面垂直的定义，直二面角的平面角是入手点，所以在底面内过B点作交线的垂线，就解决问题了。

性，但还要证明才能肯定结论

学生分析证明的思路

教师展示证明的过程

帮助学生肯定了结论，教师：回答的很好，下面我们来看一下他的提升了学生的学习热过程

情

证明完毕

通过证明，我们可以得到同学们的猜想是正

确的，这也就得到了我们今天的另一个主要

内容就是面面垂直的性质定理——两个平面

垂直，则一个平面内垂直于交线的直线于另教师整理所讲内容

一个平面垂直，简称（面面垂直，线面垂直）。

强调垂直的另一种转

化

下面简单的小结一下

提升学生会分析问题的能力，提出对于证明问题的解决方案，培养学生的数学思维

培养学生证明过程的完整性和严谨性

培养学生推理的能力，要靠综合的思维能力和思想方法来证明猜想的结论，要形成一个完整的推理过程，因为数学是严谨的

教师：下面我们结合两个小总结来进行内容搞的归纳整理，如图所示

学生总结

教师展示本节课的内容总结图

学生和老师总结的对比

培养学生的整体观念，要有全局意识，不仅能宏观研究，也能微观探究

哪位同学来给大家整理一下自己的想法呢？

归学生六：多了一种证明的方法，还有就是垂纳直的香花转化。

整还有吗？

理

学生七：平面问题转化为直线问题。

教师：补充的很好，下面我来完善一下

教师重点强调“降维”让学生形成好的数学思和“关系”及涉及的“数维品质，要完全掌握立学思想”

体几何的本质是什么，怎么处理问题，怎么实现转化

操作应用

下面来结合今天所学的内容来解决问题，请看例题

教师：我们可以猜出他们的位置关系吗？能不能自己实际操作确认一下？

学生：垂直的关系。

教师：那如何来证明呢？从哪个地方入手呢？

教师展示例题

分析例题的条件和结论

学生迅速思维转换，变证为用

学生利用纸张折叠，并立在桌面上去感知猜想，得出结论

让学生实现知识的内化，体会性质应用的灵活性，查看知识的掌握程度

再次让学生要去感知，要懂得探索和发现

教师引导学生，学以致

教师帮助学生分析，从面面垂直出发得到线用，从面面垂直的条件让学生体会分析法的使面垂直，再利用分析法来逐渐靠近已知条件，来入手，转化为线面垂用，体现执果索因的证不断的得到所需要出现的条件，从而实现证直

明思路和解题办法

明。

学生体会面面垂直使

用的条件和所得的结

论

学生学会模仿，并能书

教师：刚才是和大家共同分析了本题的解题教师板书示范解题过写过程，培养严谨的数学习惯

思路。下面我就本题的解题过程在黑板上展程

示一下。

教师对过程进行解读，让学生发现一个问题的教师强调书写的严谨性

各个判定和性质的说解决不是靠单一的推导

总结解题的思路和就可以实现的，它要靠教师：我把刚才写的过程来分割一下，大家明，办法

所有的结论共同得到，看有没有收获。

培养学生的知识整合能

教师分割过程，说出了面面垂直的性质、线学生对判定和性质的力，熟练知识的应用程面垂直的性质、线面平行的判定、线面平行各块内容进行分析比度，把握知识的本质内涵

的性质的使用，并归化了每个知识点的过程。

较

教师抛出问题，学生思让学生更深刻的体会面

寻找问题的突面垂直的使用条件

教师：这道题还有没有其他的证明办法吗？考方法，

破口

下面以小组为单位进行交流讨论和研究

教师巡视，学生讨论

学生合作，讨论交流

思考问题，提供方法

体现学生互助，合作探究，集思广益，取长补短，发挥个人的特点，

操作应用

操作应用

教师：下面请第一小组派一位代表来把你们小组的研究成果分享一下，你们是怎么分析的？

学生七：我们小组也是从面面垂直上入手的，只是变换了对象，我们在另一个平面内去找交线的垂线，从而利用得到线面垂直，进而得到线线垂直，同理也可得到另一个线线垂直，最终可以利用线面垂直的判定证明。

下面请大家按照刚才的思路来书写解答过程

下面第二组的一位同学给说一下你的过程

教师总结解题的思路

下面请同学们看一道练习题

学生分析解题思路，教师点评，指出学生在描述中的不足之处

将个人优势最大化

能让学生去独立思考，自己分析，交流讨论，合作完成，形成集体的智慧

学生更加准确的应用面面垂直的性质

规范学生的解答过程

培养严谨的数学思维习惯和数学思维品质

通过练习，巩固所学知识，训练学生的技能

培养学生细心审题的解题习惯，发现条件，并能适当的转化成有效条件

培养学生的数学思维能力，思考问题的习惯和解决问题的思想方法和解题策略

学生数学解题过程

学生解说，教师点评

教师总结解题方法

教师展示例题

教师：请同学们先阅读题目已知条件。

教师：请第四组的一位同学来说一下你在题

目中发现了几个有用的条件，分别是什么？

学生细心审题

学生八：三个垂直的条件。

教师：要证的也是垂直，你打算是从哪儿入抓住题目中的有用条手来作为解决问题的突破口？

件

学生：从结论吧，因为从已知的话，不知从

哪个条件入手更好，能和未知的垂直有关系，

所以选择从结论入手。

教师：对，你回答的非常好，这就是我们证学生说分析过程

明题里常说的分析法，由果索因。

下面你来给大家说一下你的分析过程。

教师在黑板上书写分教师说明线面垂直和线线垂直转化的重要性

析过程

分析结束，请同学们动手完成证明过程。

请第二组一位同学读自己的书写过程。

学生九说自己的过程。

总结反思

本节课我们学习了线面垂直和面面垂直的性质定理，并应用它们解决了一些问题。下面请同学们简单的对这节课进行一个总结。

学生书写解答过程

学生回答，教师点评

教师引导，学生根据所练所讲来总结本节课的内涵

教师整理内容，归纳总结出本节课的知识要点，核心素养和数学思想

学生应用知识解决问题

规范解答过程

让学生通过所练所讲和所悟归纳总结自己的结论

体现出本节课的内涵，形成系统的体系

课后作业

板书

知识应用和迁移及内化

空间中直线、平面的垂直关系

例题的证明过程例题的证明过程

练习的分析过程