习题2.3课件配套优秀

高三一轮（理） 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

阳朔中学 廖升旺

【教学目标】

1.理解空间直线、平面位置关系的定义；

2.了解可以作为推理依据的公理和定理；

3.能运用公理、定理和已知获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 【重点难点】

1.教学重点：能运用公理、定理和已知获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题；

2.教学难点：能运用公理、定理和已知获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题；

【教学策略与方法】

自主学习、小组讨论法、师生互动法

【教学过程】

教学流程

教师活动

环节一

考纲再现: 近三年高考对点、线、空间线、面的位置关系

面的√

√

考试内容

了解

理解

掌握

要求层次

学生活动

学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

学生通过对高考真题的解设计意图

通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢

公理1、公理2、公理3、公

位置理4、定理* 关系的考查不多，主要有以下两个方面：

(1)单独考查直线和平面位置关系；

(2)以多面体为载体进行考查线、面位置关系，主要考查定理的理解和掌握为主，试题难度中等，常以选择题形式出现．

(3)高考对异面直线所成角的求解近几年逐渐淡化，决，感受高考题主要考查能作出异面直线夹角的情况，借助常见几何体转化为同一平面内两

条直线的夹角，其难度降低，能建立空间直角坐标系的，可利用空间向量求异面直线的夹角．

真题再现（见课件）

的考察视角。

环节二：

知识梳理：

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面

由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能

力和解题效率。

异面直线：不同在任何一个平面内平行共面直线相交

的练习奠定基础.

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

π②范围：0，. 2(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

考点突破：

考点一

平面基本性质的应用

(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

例1

例1

如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝1190°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，22G，H分别为FA，FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

[来源:学科网]．

[解]

(1)证明：由题设知，因为G、H分别为FA、FD的中点，

1所以GH∥AD且GH＝AD，

21又BC∥AD且BC＝AD，

2故GH∥BC且GH＝BC，

所以四边形BCHG是平行四边形．

BE＝GF，所以四边形EFGB是平行四边形，

(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：

1由BE∥AF且BE＝AF，G是FA的中点知BE∥GF且

2所以EF∥BG.

由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，

故EC，FH共面．又点D在直线FH上，

所以C，D，F，E四点共面．

归纳升华：

1．点线共面问题证明的两种方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；

(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．

2．证明多线共点问题的两个步骤

源:Z|xx|k.Com][来(1)先证其中两条直线交于一点；

(2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线可以利用公理3证明．

跟踪训练1

上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、认知结构。

AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC

＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E、F、G、H四点共面；

(2)设EG与FH交于点P.求证：P、A、C三点共线．

证明

(1)∵E、F分别为AB、AD的中点，

BGDH1∴EF∥BD.在△BCD中，＝＝，

GCHC2∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．

12(2)由(1)知EF//BD，GH//BD.

23∴四边形FEGH为梯形，∴GE与HF交于一点，设EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，

∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.

∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，

又平面ABC∩平面ADC＝AC，

∴P∈AC，∴P、A、C三点共线．

例2

(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

) A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(

) 科#网

通过跟踪训练，

来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

[来源:学科网ZXXK]A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

答案

(1)D

(2)D

解析

(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．

(2)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，

∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，

∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD. 又∵A1B1与B1D1相交，

∴MN与A1B1不平行，故选D. 归纳升华：

空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决. 跟踪训练2 已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：

①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(

) A．0 B．1 C．2 D．3

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

教师引导学生及时总结，以

引导学生对所学的知识进行小解析：选B 法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，帮助学生形成完c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，整的认知结构。

③显然成立．

法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．

考点三

求两条异面直线所成的角

例3

(1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为______________________．

通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高和能力的内化。

解题技能。

答案

60°

解析

取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，

教师引导学

在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，

3设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝，

2故∠AB1E＝60°. (2)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号) 生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

答案

(1)D

(2)D

(3)②④

解析

(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．

(2)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，

∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，

∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD. 又∵A1B1与B1D1相交，

∴MN与A1B1不平行，故选D.

(3)图①中，直线GH∥MN；

图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，

因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，

因此GH与MN异面．

所以图②④中GH与MN异面．

归纳升华：

1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. 2.求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解. 跟踪训练3 直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(

) A．30°

B．45°

C.60°

D．90°

答案

(1）C 解析：如图，可补成一个正方体，

引导学生规范证明题的解答格式，体会推理证明中的严密性。

∴AC1∥BD1. ∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1为正三角形，

∴∠A1BD1＝60°. 即BA1与AC1成60°的角．

环节三：

方法与技巧：

1.判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.

学生回顾，总结. 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控

2.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范：

1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.

2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件. 3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].

环节四：

课后作业：学生版课时特训

学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。

打下良好的基础。