复习参考题名师教学设计1

数学探究：正方体截面的研究

教学设计

学习目标：

1.综合正方体截面设计的问题串，完成探究、发现、证明新问题的过程，积累数学探究的经验；

2.逐步形成用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。

学情分析：学生已经有了基本空间图形以及空间线面关系等方面的基础知识，也经历过初步的探究和发现新问题的过程，但对他们来讲，用数学方法构建模型解决实际问题依然十分陌生，特别是对于能提出有质量的问题串的要求，难度较大。

重点及难点分析：

重点：引导学生围绕正方体截面完成探究、发现、证明新问题的过程。

难点：正方体截面问题的数学模型建立；截面多边形特征的探究和发现过程。

教学方法：讨论法、演示法。

媒体及技术准备：电子白板，学乐云平台，PPT及自主开发的“正方体截面”Flash课件。

教学设计：

情景及导入：

提出问题1：用一个平面截正方体，截面的图形将会是什么样的？（学生独立思考1分钟）

学生展示交流。（3分钟）

探究过程：

播放Flash课件，让学生仔细观察模拟演示过程并思考。

问题2：截面多边形的边数取决去什么样的要素？（截面所经过的正方体的面的个数）

问题3：能截出哪些多边形？

既然截面多边形的边数取决于截面所经过的正方形的面数，正方体有6个面，那么最多能截出六边形。于是，能够截出的多边形只能是三角形、四边形、五边形和六边形。

形状的问题基本解决，接下来引导学生进一步探究截面多边形的特征，逐步将学生思维导入深水区。

问题4：截出的三角形有何特征？能截出直角三角形吗？

解析：引导学生思考，假如截面是直角三角形，会出现什么样的情形？在学生独立思考后讨论的基础上引出反证法，利用线面垂直的判定和性质推出矛盾。

证明过程：假设MP⊥NP,

NPABAB平面BCCBNP平面ABCD

NPMPNP平面BCCBABMPM推出矛盾，所以MP⊥NP不成立. 思考与讨论：以问题2、3、4为例讨论，围绕正方体的截面，大家还能提出哪些问题？（分组讨论8分钟，然后展示交流）

（可能的课堂生成：截面三角形可否为钝角三角形？截面四边形有哪些？截面可否为等腰梯形或直角梯形？截面可否为菱形等等，结合课堂实际，可当堂解决，亦可留待课后拓展）

问题5：能否截出正五边形？

解析：引导学生探究截面五边形和正五边形各自的特征。

对于截面五边形，根据平行平面的性质定理，截面五边形显然至少有一对对边互相平行。

而对于正五边形，可以引导学生从探究五边形的内角和开始，求出正五边形的内角，进而判断正五边形有没有相互平行的对边。

由此得出结论：不可能截出正五边形。

问题6：能否截出正六边形？

（可以继续通过演示“正方体截面”Flash课件，让学生仔细观察，得出结论，然后加以证明，体会数学建模的全过程。若时间不够，可留待课后做拓展训练）

总结：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。在这个过程中，发现问题、提出问题是前提，分析问题、建立模型是关键。所以，要积极思考大胆探究，着力培育发现和提出问题的意识，养成善于分析探究的良好习惯。除此以外，扎实的数学基础知识也是必不可少的条件，本节课所研究的正方体的截面问题，就涉及到了线面垂直判定和性质、面面平行的性质、多边形内角和定理等方面知识以及反证法、分类讨论等思想和方法。

课外拓展：

1.除了和正方体的面平行的截面，还有没有可能截出正方形？

2.如图，A,C分别是正方体棱上的中点，至少用两种方法证明，如图的菱形截面不是正方形。

附：“正方体截面”Flash课件说明：本课件利用超级画板自主开发完成，实现了平面截正方体的三维动画演示。

利用课件界面的“x向平移”、“y向平移”、“z向平移”以及“上下翻转”、“左右旋转”等按钮，可以实现动平面的三维无极移动和旋转，从而直观的演示界面的各种情况。利用“切割”按钮，还可以切割出瞬时截面的二维平面图形，以便更加直观的对截面研究。