3.2.2 直线的两点式方程优质课教案

§3.2.2 直线的两点式方程

平顶山市第一高级中学

刘富忠

教学目标：

1.掌握直线方程的两点式、截距式以及它们之间的联系和转化，并能根据已知条件熟练地求出满足已知条件的直线方程。

2.让学生经历直线的两点式方程的发现过程，提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力。

3.在教学中充分揭示“数”和“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，并且继续渗透数形结合与分类讨论的数学思想方法。

教学重点

直线方程的两点式、截距式的推导以及它们的应用。

教学难点

直线方程的两点式、截距式的推导、两个公式适用的前提条件。

教学过程设计

1.复习回顾，导入新课

[设计意图：本设计从学生利用上节课学过的直线的方程的点斜式，求过两个已知点的直线的方程出发，让学生“悟”出学习两点式的必要性，同时“悟”出两点式的推导方法，以此导入新课，目的在于既加深学生对所学过的知识的理解，又为学生学习新知识奠定良好的基础。] 师生活动1: 教师请学生复述直线的点斜式方程的形式，以及点斜式方程的推导过程。

（计划提请2到3位同学回答，说的不完整或书写不完全正确的，教师补充、概括，复习清楚）

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教师利用PPT出示练习如下：

求过下列两点的直线的方程：

(1)A(8,-1)，B(-2,4)；

(2) A(6,-4)，B(-1,2)；

(3) A(x1,y1)，B(x2,y2) （x1≠x2）

学生尝试完成练习，教师在教室巡视，待大部分同学完成后，分别找三个同学在实物展台展示答案并由学生着重说明求斜率和方程的过程。

第（3）小题求解过程和答案是：首先利用直线的斜率公式求出斜率k，然后利用点斜式写出直线的方程，就可以得到yy1y2y1(xx1)。待学生回答x2x1完毕，教师适当点评，完善，并提出问题：“此式子可以作为求直线方程的公式吗？”

学生容易做出肯定的回答。

教师—上式的形式不便于记忆及应用，可以把上式进行变形，使它的形式比较对称和美观，能够体现数学之美。你认为什么形式更美观些？

学生—回答的形式可能有：yy1y2y1yy1xx1等。

,xx1x2x1y2y1x2x1教师—引导分析：①方程yy1y2y1表示的直线含不含点A(x1,y1)？因而，xx1x2x1根据直线方程的含义，它能不能作为直线AB的方程？

指出：在方程变形时，注意等价变形，由方程yy1yy1y2y1不是一个等价变形，差别正是x≠x1. xx1x2x1y2y1(xx1)变形为x2x1同理分析②

yy1xx1，在这个变形中，等式两边同时除以y2y1，y2y1x2x1yy1xx1表示过y2y1x2x1应有y2y10。这样，在y2y10时，我们可以用方程两点A(x1,y1),B(x2,y2),(x1x2)的直线方程。两个条件和在一起，我们得到：

2

当x1x2,y1y2时，过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程可表示为yy1xx1。

y2y1x2x1这个直线方程的形式突出了两点坐标，根据直线所过两点的坐标可以立即写出直线的方程，所以，这个方程形式叫做直线的两点式方程，简称两点式。

2.思辨分析，深入理解

教师—两点式方程有条件x1x2,y1y2限制，这个条件限制导致了一些直线不能直接用两点式表示，你知道哪些直线不能用两点式表示吗？

学生—当x1=x2或y1=y2时，即倾斜角是0度或90度的直线不能用两点式表示。

教师—此时它们的直线方程是什么呢? 学生—当x1=x2或y1=y2时，它们的方程分别是x=x1和y=y1。

教师—根据上述分析，我们就不能用直线的两点式表示平面直角坐标系内所有的直线了。作为一个趣味问题，请思考：如何才能表示所有直线呢？

学生尝试回答，教师引导、完善，如果把两点式变成(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)，那么就可以用它来求过平面直角坐标系内任意两个已知点的直线方程。

教师——你知道为什么教材上不化成这种形式吗？这是因为这种形式不是太美观。（分析两点式方程的对称美、和谐美。）

学生—为了让我们感受两点式的对称美、和谐美。

教师——再次强调：

(1)直线的两点式方程适用的前提条件是

x1x2,y1y2。

（2）当x1=x2或y1=y2时，它们的方程分别是x=x1和y=y1。

（3）方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)可以表示过平面直角坐标系内任意两点的直线方程，但形式不美，一般不用。

3

3.探究直线的截距式方程

[设计意图：为更好揭示直线方程两点式公式的内涵，加深学生对公式的理解，本环节通过创设不同角度的四个问题，供学生思考、分析，让学生体会数学的“对称美”，同时又培养了学生严密的逻辑思维能力，渗透了分类讨论的数学思想。另外，通过学生完成练习，既巩固了两点式的应用，也解决了课本例3，又自然的引申出截距式。] 教师用PPT出示练习:求过下列两点的直线的两点式方程：

（1）A（2,1），B（0，-3）；

（2）A（-4，-5），B（0,0）；

（2）A（0,5）,B（5,0）;

（4）A（a,0）,B（0,b）. 学生独立完成，提问个别同学演板。

教师用PPT展示第四小题解题过程，提问a 和b的几何意义是什么？称为什么？取值范围是什么？

学生回答，教师补充完善：与x轴交点横坐标叫直线的横截距，与y轴交点纵坐标叫直线的纵截距；截距是直线与坐标轴的交点坐标，故可取任意实数。

根据上面的例子，是否任意直线都有其截距式方程？

学生可能回答—不是！过原点的直线、平行坐标轴、与坐标轴重合的直线没有截距式方程。

教师借机强调：使用截距式方程解题时，注意对截距为0和不为0两种情况讨论，防止遗漏。

4.例题精讲

教材P36例4 [设计意图：熟练两点式的应用，并通过例题的条件分析，以及所学的四种形式的直线方程的特点，让学生思考如何根据条件选择求直线的方程的最佳方法。] 注意：注意介绍中点坐标公式；另求直线方程的题目，最终结果中若没有特殊要求，直线方程习惯上写成二元一次方程的标准形式（为一般式方程做好铺垫）。

4

例题变形：条件不变，改求三角形三条边所在直线的方程，可以用那些形式的直线方程求解。

学生一般回答用两点式可求。

教师先肯定学生回答，继而追问能否可以用其他方程，使求解过程更简洁方便？

学生思考后回答，教师点评，补充完善并强调：求解直线方程时，要根据已知条件的特点，适当的选择直线方程的形式，从而使求解更简洁，体现了求直线方程的灵活性。

5.课堂练习：

教材P97练习第1,2,3题。

[设计意图：本设计使学生进一步熟练应用四种形式求解直线方程的步骤和过程，并且理解数形结合、分类讨论的思想实质。] 6.课堂小结

[设计意图：为帮助学生用联系的观点来学习知识，又能把四种形式的直线方程加以区分，以便更好地利用它们，本设计主要采用比较法的形式小结。] （1）本节内容

①直线的两点式方程及其适用范围；

②直线的截距式方程及其适用范围；

③线段的中点坐标公式。

（2）由学生通过填表对四种直线方程特殊形式进行比较。

直线方程名称

点斜式

斜截式

两点式

截距式

已知条件

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直线方程

适用范围

7.作业设计：

（1）教材习题3.2，A组第9，10题；

（2）补充作业（选做）：求过点（1,2），且在坐标轴上截距相等的直线的方程。

8.板书设计

§3.2.2直线的两点式方程

学生板演区

一、两点式

二、截距式

PPT课件

练习区

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