第四章 圆与方程（通用）课堂实录【2】

圆梦教育中心 圆与方程知识点总结

1. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2. 2. 点与圆的位置关系：

(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

a.点在圆内

d＜r； b.点在圆上

d=r； c.点在圆外

d＞r (2). 给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2

②M在圆C上（x0a)2(y0b)2r2 ③M在圆C外(x20a)(y0b)2r2

（3）涉及最值：

①

圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

PBminBNBCr

PBmaxBMBCr

②

圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

PAminANrAC

PAmaxAMrAC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

3. 圆的一般方程：x2y2DxEyF0 . (1) 当D2E24F0时，方程表示一个圆，其中圆心CD,ED2E24F22，半径r2. (2) 当D2E24F0时，方程表示一个点DE2,2. (3) 当D2E24F0时，方程不表示任何图形.

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注：方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且D2E24AF0.

4.

直线与圆的位置关系： 直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2 圆心到直线的距离dAaBbC

A2B21）dr直线与圆相离无交点；

2）dr直线与圆相切只有一个交点；

3）dr直线与圆相交有两个交点；弦长|AB|=2r2d2

rdd=rrd

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组AxByC0x2y2DxEyF0求解，通过解的个数来判断：（1）当0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；

（2）当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；

（3）当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5. 两圆的位置关系

（1）设两圆C2(yb222(yb221:(xa1)1)r1与圆C2:(xa2)2)r2，

圆心距d(a1a2)2(b1b2)2

①

dr1r2外离4条公切线；

②

dr1r2外切3条公切线；

③

r1r2dr1r2相交2条公切线；

④

dr1r2内切1条公切线；

⑤

0dr1r2内含无公切线；

外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程

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圆C1：x2y2D1xE1yF10， 圆C2：x2y2D2xE2yF20，

则D1D2xE1E2yF1F20为两相交圆公共弦方程. 补充说明：

①

若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程；

②

若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题

22过两圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：xyD2xE2yF20交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20（1）

补充：

①

上述圆系不包括C2；

②

2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

③

过直线AxBy0与C圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程为x2y2DxEyFAxByC0

6. 过一点作圆的切线的方程：

(1)

过圆外一点的切线：

①k不存在，验证是否成立

②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)

RR21求解k，得到切线方程【一定两解】

例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)+(y—2)=4的切线，则切线方程为 。

(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)+(y—b)=r，圆上一点为(x0，y0)，

则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r 特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2. 例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)+(y+8)=9的切线，则切线方程为 。

3 22222222

7．切点弦

(1)过⊙C：(xa)2(yb)2r2外一点P(x0,y0)作⊙C的两条切线，切点分别为A、B，则切点弦AB所在直线方程为：(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

8. 切线长：

若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为

d=(x0a)2+(y20b)r2．

9. 圆心的三个重要几何性质：

①

圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②

圆心在某一条弦的中垂线上；

③

两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C221：x +y

—2x =0和圆C222：x +y +4 y=0，试判断圆和位置关系，

若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。

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