2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计方案

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

一、教学目标

1. 结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系. 2. 进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3. 培养学生全面思考问题的能力. 二、教学重点难点

平面与平面的相交和平行. 三、教学过程

（一）复习回顾

1. 直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2. 直线与平面的位置关系：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. （二）导入新课

思路1.(情境导入)

拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

思路2.(事例导入)

观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

图1 提出问题

①什么叫做两个平面平行？

②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交?

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⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系. 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义. 问题②怎样体现两个平面平行的特点. 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果：

①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2

图3

③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βÞα∩β＝l,且P∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线. ⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行，若α∩β＝Æ,则α∥β. 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交，若α∩β＝AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图4.

图4 应用示例

例1

已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aÌa,bÌb,则直线a与直线b具有怎样的位置关系? 解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.

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图5 例2

如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.

解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.

图6 变式训练

α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是(

) A.

α、β

都平行于直线l、m

B.

α内有三个不共线的点到β的距离相等

C.

l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β

D.

l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β

分析：如图7,分别是A、B、C的反例.

图7 答案：D

例1

如图10，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，

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图10 （1）画出l的位置；

（2）设l∩A1B1＝P，求PB1的长.

解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，

则平面DMN与平面A1C1的交线为QN. QN即为所求作的直线l.如图10. （2）设QN∩A1B1＝P, ∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q＝AD＝a＝A1D1, ∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N, 111D1N＝C1D1＝a. 24413∴PB1＝A1B1－A1P＝aaa. 44∴A1P＝变式训练

画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.

解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，

图11 ∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P. ∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线. 课堂小结

本节主要学***面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：

①两个平面平行——没有公共点；

②两个平面相交——有一条公共直线.

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另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 作业

课本习题2.1

B组1、2、3.

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