3.1.3 导数的几何意义优质课教案

§3.1.3导数的几何意义教学设计

东莞实验中学

王铁成

一、教材内容与解析

本节课设计内容是高中数学选修1-1(人教A版P76-P78)，导数的几何意义，导数是中学数学的重要内容．本节课是在学习前两节的变化率问题、导数的概念之后，从几何图形的角度来研究导数，理解一般曲线的切线定义，渗透“以直代曲”的数学思想，会简单应用导数的几何意义。为后续的导数研究函数其他性质（如极值等）奠实基础。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．

二、教学目标

根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标：

（一）

知识与技能 :

通过实验探求和理解导数的几何意义；

体会导数在刻画函数性质中的作用；

（二）

核心素养目标

通过具体情境分析概括出切线的定义，培养学生学生数学抽象核心素养，“以直代曲”的渗透逼近培养直观想象核心素养

三、教学的重点难点

本着新课程标准的教学理念，针对教学内容的特点，同时根据学生学习能力和旧有的知识的特点，我认为学生在定义了曲线的切线后，对于导数的几何意义为什么会与切线相关，如何相关会产生疑惑。因此我确定以下重点和难点：

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义．

突破了重点难点，也就解决了存在的问题

四、教学支持条件分析

本着新课程标准的教学理念，根据本章特点，重视信息技术的使用，采用多媒体辅助教学，用动画的形式演示，将抽象的理论通过直观的图形说明白，学生简单易懂

五、教学过程设计

（一）设问激疑，创设情境

复习回顾，温故知新

一般地，函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率）是

f(x0x)f(x0)y

f(x0)limlimx0xx0

x通过图形认识平均变化率的几何意义是：割线斜率

设计意图

问题1

平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？ 切线的概念在学生头

脑中已经不再陌生，但

是问题2却引出来矛

盾，激起学生强烈的求

知欲，有利于提高课堂

效率

问题2 如图直线l1是曲线C的切线吗? l2呢?

问题3 那么对于一般的曲线，切线该如何定义呢？ （二）启发引导，形成概念

探究一: 请同学们观察屏幕。回答： 通过几何画板软件拖动点Pn

，

割线PPn在变化的过程中，最后确定在什么位置？

教师因式利导给出切线的定义

当Pn趋近于点P时，将割线趋于的确定位置（PT）的直线定义为切线（交点可能不唯一）适用于各种曲线。

设计意图

重视信息技术的作用，开展数学实验，学生直观地观察数学现象，发现数学结论。通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线，这种定义才真正反映了切线的本质。

（三）探究揭示几何意义

探究二: 1、回顾一下函数y=f(x)在x= x

处的导数是什么？ 2、试一试求屏幕上函数在B点处的导数。 函数y=x2/5在x=6处的导数 是2.4

3、观察动画演示后猜一猜：切点的导数值与该点切线斜率有什么关系？能证明吗？ 动画演示后的函数在x=6处的切线的斜率也是2.4.让学生先猜想

再证明。（证明的过程也用先用动画提示）

0设计意图

先复习一下导数的基本概念，然后通过数的角度去猜测，学生比较容易接受，然后再去证明这一命题的真假。符合学生的认知规律，得出结论有水到渠成的味道

函数

y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线

y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率

通过图形做一下对比

y

ylimx0x

x

平均变化率 瞬时变化率(导数） (割线斜率） (切线斜率）

通过前面的割线斜率的对比，再加上直观形象的图形，更有利于掌握导数的几何意义

（四）观察感知，渗透思想

探究三: 请同学们打开教材P77页，仔细观察图3.1-2，请问： 在P点附近，PP1与PP2谁更贴近曲线 y=f(x)? PP2与PP3呢？

PP3与PP4呢？再靠近一些呢？ 通过动画演示学生观察现象得出结论：

根据导数的几何意义，在点P附近，曲线在点P处的切线最贴近曲线

从而在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替

。

渗透微积分这一段知识的主要数学思想：逼近和以直代曲

设计意图

（以简单的对象刻画复杂的对象）

大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”

（五）例题应用，知识巩固

例1

观察跳水运动高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象，请描述曲线在t0,t1,t2附近的变化情况。

学生通过看图回答问题，教师引导学生给出总结

(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；

(2)函数在x= x1 附近的单调性与其在x= x1处导数正负的关系 ；

例2 根据已知条件，画出函数图象在该点附近的大致形状

（1）f(1)= -2 ，

f’(1)=-1 （2）

f(2)= 1， f’(2)=1 （3）f(2)= 2， f’(2)=0 设计意图

1、通过一道熟悉背景的例题，既巩固了前面的切线定义，以直代曲，又深入函数在某点附近的单调性与其在该点处的导数值有关为后面的提高训练打下基础

2、通过学生的的动手亲自操作，将知识的学习的过程转化为数学素养的提高

（六）总结提高，课后作业 设计意图

今天这节课我们主要学了什么？

巩固学生所学的新知1、通过观察动画，一般曲线的切线定义是什么？ 识，将学生的思维向外延2、通过观察动画，猜想，证明了导数的几何意义是什么？ 伸，激发学生的发散思维

3“以直代曲”的思想方法

作业：《三维设计》P85页

六、目标检测设计

设计意图

对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.