1.1.2 简单组合体的结构特征课时教案

第二课时

圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征

预习课本P5～7，思考并完成以下问题

1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？

2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？它们的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？

[新知初探]

1．圆柱、圆锥、圆台、球

分类

定义

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的圆柱

轴；

垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线

我们用表示圆以直角三角形的一条直角边所在直圆锥

线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO

我们用表示圆用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台

以半圆的直径所在直线为旋转轴，球

半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球

1 图形及表示

表示

我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱

OO′

台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′

球常用球心字母进行表示，

左图可表示为圆台

的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径

球O

[点睛] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．

2．简单组合体

(1)概念：

由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．

(2)构成形式：

有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．

[点睛]

要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥(

) (2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱(

) (3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台(

) (4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

2．圆锥的母线有(

) A．1条

C．3条

答案：D 3.右图是由哪个平面图形旋转得到的(

) B．2条

D．无数条

解析：选A

图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．

旋转体的结构特征

[典例]

给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的

2

任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．

[解析]

(1)正确，圆柱的底面是圆面；

(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；

(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．

[答案]

(1)(2)

1．判断简单旋转体结构特征的方法

(1)明确由哪个平面图形旋转而成；

(2)明确旋转轴是哪条直线．

2．简单旋转体的轴截面及其应用

(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

[活学活用]

给出以下说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；

②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；

③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；

④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．

其中正确说法的序号是________．

解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．

答案：①④

简单组合体

[典例]

将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(

) A．一个圆台、两个圆锥

C．两个圆台、一个圆柱

B．两个圆台、一个圆柱

D．一个圆柱、两个圆锥

[解析]

图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2包括一个圆柱、两个圆锥．

3

[答案]

D

解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力．

[活学活用] 1.如图所示的简单组合体的组成是(

) A．棱柱、棱台

C．棱锥、棱台

B．棱柱、棱锥

D．棱柱、棱柱

解析：选B

由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．

2.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．

解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．

圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用

[典例]

如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，B1Q＝30 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40 [解]

将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．

1∴A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm)．

2过点Q作QS⊥AA1于点S，

在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，

QS＝A1B1＝10π(cm)．

∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．

即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.

cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？

求几何体表面上两点间的最小距离的步骤

4

(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；

(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；

(3)结合已知条件求得结果．

[活学活用]

如图，一只蚂蚁沿着长AB＝7，宽BC＝5，高CD＝5的长方体木箱表面的A点爬到D点，则它爬过的最短路程为________．

解：蚂蚁去过的路程可按两种情形计算，其相应展开图有2种情形如图，

在图1中AD＝AC2＋CD2＝122＋52＝13，

在图2中AD＝AB2＋BD2＝72＋102＝149，

∵149<13，

∴蚂蚁爬过的最短路程为149.

层级一

学业水平达标

1．如图所示的图形中有(

)

A．圆柱、圆锥、圆台和球

C．球、圆柱和圆台

B．圆柱、球和圆锥

D．棱柱、棱锥、圆锥和球

解析：选B

根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B. 2．下列命题中正确的是(

) A．将正方形旋转不可能形成圆柱

B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

解析：选C

将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C. 3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是(

)

5

A．圆柱

C．球

解析：选C

由球的定义知选C. B．圆锥

D．圆台

4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是(

) A．4π

C．2π

B．8π

D．π

解析：选C

边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.

5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是(

) A．一个圆锥

C．两个圆锥

答案：C 6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．

解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．

答案：两个同底的圆锥组合体

7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm. 解析：如图所示，设圆台的母线长为x cm，

截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，

根据三角形相似的性质，得r3＝，解得x＝9. 3＋x4rB．一个圆锥和一个圆柱

D．一个圆锥和一个圆台

答案：9 8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．

答案：圆柱

9.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？

6

解：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．

10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．

解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．

(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．

(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．

层级二

应试能力达标

1．下列结论正确的是(

) A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台

B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析：选D

须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D. 2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是(

) A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形

解析：选D

该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．

3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是(

) A．2

24C.或

ππB．2π

ππD.或

24解析：选C

如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr42＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.所以选ππC.

7

4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(

)

A．①②

C．①④

B．①③

D．①⑤

解析：选D

一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，故选D. 5．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．

①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．

解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．

答案：①②③⑤

6．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.

解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，

所以该地球仪的半径R＝答案：43 7．圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．

解：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r.将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO＝30°. r在Rt△BO′A′中，＝sin 30°，

BA′∴BA′＝2r. 2r在Rt△BOA中，BA＝sin 30°，∴BA＝4r.

8 圆6＝43 cm. cos 30°

又BA－BA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a. ∴S＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.

8．圆锥底面半径为1 cm，高为2 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．

解：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为x

cm，则AA1＝x cm，A1C1＝2x cm. 作SO⊥EF于点O，则SO＝2 cm，OE＝1 cm. ∵△EAA1∽△ESO，

∴AA1EA1SO＝EO，

1－2x即x22＝1. ∴x＝22，即该内接正方体的棱长为22

cm.

9