2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计范文

[A

基础达标] 1．下列命题中错误的是（

）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

解析：选C．如果平面α⊥平面β，那么只有α内垂直于交线的直线才垂直于β，故C项错．

2．设l是直线，α，β是两个不同的平面（

）

A．若l∥α，l∥β，则α∥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析：选B．对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．

3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（

）

A．平行

C．垂直

解析：选C．

B．共面

D．不垂直

如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD．

所以BD⊥AC．

因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，

BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面AA1C1C．

又CC1⊂平面AA1C1C，

所以BD⊥CC1，故选C．

4．

如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H．为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（

）

A．EF⊥平面α

B．EF⊥平面β

C．PQ⊥GE

D．PQ⊥FH

解析：选B．因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ．若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ．又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．

5．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（

）

A．一条线段

B．一条直线

C．一个圆

D．一个圆，但要去掉两个点

解析：选D．因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，所以AC⊥平面PBC．

又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC．

所以∠ACB＝90°．

所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．

6．如图，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝

．

解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°（即PA⊥AC），

所以PA⊥平面ABC，

所以PA⊥AB，所以PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝5．

答案：5 7．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为

．

解析：如图，过a作平面γ，设γ∩α＝b，

因为a∥α，所以a∥b．又因为a⊥AB，所以b⊥AB．

又因为α⊥β，α∩β＝AB，b⊂α，所以b⊥β，所以a⊥β．

答案：a⊥β

8．

如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为

．

解析：因为CA＝CB，O为AB的中点，所以CO⊥AB．

又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，

所以CO⊥平面ABD．

因为OD⊂平面ABD，所以CO⊥OD，

所以△COD为直角三角形，

所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．

答案：6 9．

如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于点E，过E作EF⊥SC交SC于点F．

（1）求证：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．

证明：（1）因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC．因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC，又AB∩SA＝A，

所以BC⊥平面SAB，

因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE．

又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，

因为SC⊂平面SBC，所以AE⊥SC．

又EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥平面AEF，

因为AF⊂平面AEF，所以AF⊥SC．

（2）因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．

又AD⊥DC，SA∩AD＝A，

所以DC⊥平面SAD，

所以DC⊥AG．

由第一问知SC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，

所以SC⊥AG，又SC∩DC＝C，

所以AG⊥平面SDC，

所以AG⊥SD．

10．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．试问PA与BD是否相互垂直？请证明你的结论．

解：

PA与BD相互垂直．证明过程如下：

如图，取BC的中点O，连接PO、AO．

因为PB＝PC，

所以PO⊥BC，

又侧面PBC⊥底面ABCD，

所以PO⊥底面ABCD，又BD⊂平面ABCD．

所以PO⊥BD，

在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，

所以∠BAO＝∠CBD，又∠CBD＋∠ABD＝90°，

所以∠BAO＋∠ABD＝90°，

所以AO⊥BD，

又PO∩AO＝O，

所以BD⊥平面PAO，所以BD⊥PA，

即PA与BD相互垂直．

[B

能力提升] 11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A-BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是（

）

①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥CD；③平面ABC⊥平面ACD．

A．①②

C．①③

B．②③

D．①②③

解析：选D．因为BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，

所以CD⊥平面ABD，因为CD⊂平面ACD，

所以平面ACD⊥平面ABD，故①正确；

因为平面四边形ABCD中，

AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，

所以AB⊥AD，

又CD⊥平面ABD，所以AB⊥CD，故②正确；

因为AB⊥AD，AB⊥CD，

所以AB⊥平面ACD，

又因为AB⊂平面ABC，

所以平面ABC⊥平面ACD，故③正确．

12．在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为

．

解析：连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要

求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×答案：27 13．

3＝23，所以PM的最小值为27．

2

在斜三棱柱A1B1C1-ABC（侧棱与底面不垂直）中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．若D是BC的中点．

（1）求证：AD⊥CC1；

（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C．

证明：（1）因为AB＝AC，D是BC的中点，

所以AD⊥BC，

因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，

所以AD⊥侧面BB1C1C，所以AD⊥CC1．

（2）如图，取BC1的中点E，

连接ME，DE．

因为D为BC的中点，

1所以DE∥CC1，DE＝CC1．

2因为AA1∥CC1，

AA1＝CC1，且M为AA1的中点，

1所以AM∥CC1且AM＝CC1．

2所以DE∥AM，DE＝AM，

所以四边形ADEM是平行四边形，所以EM∥AD．

因为AD⊥平面BB1C1C，

所以EM⊥平面BB1C1C．

又EM⊂截面MBC1，

所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C．

14．（选做题）

如图，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平2面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．

（1）求证：GF∥平面ABC；

（2）求证：平面EBC⊥平面ACD；

（3）求几何体ADEBC的体积V．

解：

（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH．因为G，F分别是EC和BD的中点，所以GH∥BC，HF∥DE．

又因为四边形ADEB为正方形，

所以DE∥AB，从而HF∥AB．

所以HF∥平面ABC，GH∥平面ABC．

又因为GH∩HF＝H，

所以平面HGF∥平面ABC．

所以GF∥平面ABC．

（2）证明：因为四边形ADEB为正方形，所以EB⊥AB．

又因为平面ABED⊥平面ABC，

所以BE⊥平面ABC．所以BE⊥AC．

又因为CA2＋CB2＝AB2，

所以AC⊥BC．

又因为BE∩BC＝B，所以AC⊥平面EBC．

又因为AC⊂平面ACD，

从而平面EBC⊥平面ACD．

（3）取AB的中点N，连接CN，因为AC＝BC，

11所以CN⊥AB，且CN＝AB＝a．

22又平面ABED⊥平面ABC，

所以CN⊥平面ABED．

因为CABED是四棱锥，

所以VCABED＝1111S正方形ABED·CN＝a2·a＝a3．

33261即几何体ADEBC的体积V＝a3．

6