3.1.2 导数的概念教学实录与评析

《导数的概念及其几何意义》

一、教学目标

1、会从物理意义、数值意义、几何意义三个不同角度理解导数的本质；

2、应用导数的定义求简单函数在某点处的导数；

3、理解函数在一点处的导数的几何意义. 二、教学重点 导数的概念及导数的几何意义

三、教学难点 导数的几何解释及切线概念的形成.

四、数学核心素养

1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，养成数学抽象、直观想象和数学建模的核心素养. 2、通过问题的探究不断渗透逼近和以直代曲的数学思想，以及用已知探求未知、从特殊到一般及数形结合等数学思想方法. 五、教学策略分析

考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学. 采用“教师适时引导和学生自主探究发现相结合”的教学方式．课堂教学始终贯彻“教师为主导、学生为主体，探究为主线，思维为核心”的教学思想. 将学生分组，让学生更好的进行合作探究活动，通过手机同屏提取分组学生的计算结果，让学生感受逼近的思想方法. 1

简单介绍微积分的发展史，介绍牛顿和莱布尼兹的贡献，提高学生对学习导数的兴趣欲望，以已知探求未知，激发学生的学习热情；提前通过导学案引导学生自主计算跳水运动员任意时刻的平均速度，课堂上分组汇报各组数据，教师利用EXCEL快速计算更多的数据，让学生直观感受数值逼近的思想，求出瞬时速度，从而得到导数的定义，注重抽象概念不同意义间的转换，再用几何画板进行动态演示，让学生探索出导数的几何意义. 六、

教学过程设计

（一）设置问题情境

295年前，中国古代数学家刘徽利用割圆术计算出圆周率为3.1416，他们已经具备了微积分的思想，离研究出微积分只有一步之遥！

17世纪初，四类科学问题急待解决，这四类问题是：

第一类,求变速运动的即时速度的问题; 第二类,求曲线的切线的问题; 第三类,求函数的最大值和最小值问题; 第四类,求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题. 几百年来，为了解决这些科学问题，许多著名的科学家,如古希腊的阿基米德；法国的费马、笛卡尔、柯西；德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多有建树的理论,为微积分的创立做出了贡献. 直到17世纪中叶，英国物理学家牛顿和德国数学家菜布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，在不同的国度，不同的领域，各自独立地创立了微积分. 微积分是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑！

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微积分是人类经历了2000多年的智慧成果，它极大地推动了数学的发展,过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解. 微积分也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展,并在这些学科中应用越来越广泛. 物理学家牛顿是从运动学，即瞬时速度的方向去研究的，而莱布尼茨则是在几何学的角度去研究的.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，实现了数与形的结合！数形结合自古就不分家！今天我们就先从“数”的方向大致沿着牛顿的路线研究导数，然后再从“形”的方向沿着莱布尼兹的路线研究导数.下面我们来看这样一个物理问题：

设计意图：通过简单介绍微积分的发展史及牛顿的成就激发学生学习导数的兴趣

（二）问题情境，数学探究

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10，求ｔ＝2时的瞬时速度. 问题1、你能够设计一个方案，求运动员的在某时刻的瞬时速度吗？

如果我们想求高台跳水运动员在t2s时的瞬时速度，可以先考察t2s附近的情况. 问题2：那么t在[2,2.1]，[2,2.01]，[2,2.001]……内的平均速度分别是多少？请各小组汇报你们的计算结果，用手机同屏学生的实验结果. 我们先看运动员在[2t,2]内的平均速度.请完成表格：

[2+Δt,2] [1.9,2] [1.99,2] [1.999,2] [1.9999,2] Δt<0

-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 平均速度

-13.051 -13.0951 -13.09951 -13.099951 3

[1.99999,2] [1.999999,2] [1.9999999,2] -0.00001 -0.000001 -0.0000001 -13.0999951 -13.09999951 -13.09999995 问题3：大家发现了什么特点？ 再看运动员在内在[2,2t]的平均速度.请完成表格：

[2,2+Δt] [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001] [2,2.0000001] 问题4：大家发现了什么特点？ Δt>0

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 平均速度

-13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049 -13.10000049 -13.10000005 这种现象我们还可以通过电子表格来观察到

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问题5：要使得到的瞬时速度更精确，时间的间隔就要很小，那繁琐的计算，能否引进一个量，使其得到简化？

以上三个式子可以统一写成

h(2t)h(2)-4.9(2t)2+6.5(2t)+10+4.922-6.52-10v==-13.1-4.9t

tt

问题6：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

学生通过观察发现：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1。

总结：这个确定的值即瞬时速度，为了更明确的表述趋近的过程,可用极限的思想来表示,即h(2t)h(2)lim13.1t0t

设计意图：注重数学思想方法的渗透，将复杂计算引入变量可以化成简单统一

设计意图:利用极限思想，将函数表达式抽象化

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讲授：我们用这个方法得到了高台跳水运动员在t2s附近，平均速度逼近一个确定的常数.那其他时刻呢？比如t1.5s等？利用excel表格直观展示数据，现场操作.

问题7：经过以上2个时刻的计算，大家有什么发现？

讲授：经过以上三个时刻的计算，大家都发现：当时间间隔很小，也就是当两个时间的端点无限靠近时，平均速度逼近了瞬间速度. （设计意图：通过合作计算，让学生更深刻的感受到数值的逼近）

（三）模型建构 问题8：如果将以上问题中的函数用f(x)来表示，那么函数f(x)在xx0处的瞬时变化率该如何表示呢？

引导学生写出f(x)在xx0处的瞬时变化率可表示limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x 总结：我们就把这个瞬时变化率称为导数。（引导学生从特殊情况向一般问题进行研究）

导数的的定义： 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为yf(x)在xx0处的导数,记作：f(x0)或yxx0，即

f(x0)yxx=lim0f(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x

（设计意图：由平均速度到瞬时速度，再由平均变化率到瞬时变化率，符合学生的认知过程。同时注重对抽象表达式的理解）

问题8：如何求函数f(x)在x=x0处的导数？

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(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0);

yf(x0x)f(x0)(2)求函数的增量与自变量的增量的比值:;xx

y(3)求极限，得导函数yf(x0)lim.x0x

（四）

例题讲解 例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种产品，需要对原油进行冷却或者加热，如果在第x h时，原油的温度为yf(x)x27x15(0x8)。计算第2 h 与第6 h时，原油温度的瞬时变化率. 解：在第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6).yf(2x)f(2)4x(x)2-7x(x-3)xxxyf(2)limlim(x-3)-3x0xx0y同理：f(6)limlim(x+5)5x0xx0

（设计意图：通过具体实例计算进一步理解函数的导数的意义，同时总结出导数的一般求法.）

导数的概念：f(x0x)f(x0)ylim知，当xx0时,f'x0是一个确定的数,x0xx0x'

当x变化时,fx便是x的一个函数,我们称它为fx的导函数(简称导数).

由f(x0)lim

yfx的导函数有时也记作y',即f'xy'lim

（五）

模型解释（导数的几何意义）

x0fxxfx.x讲授：前面我们以物理为背景，从“数”的角度研究了导数，现在我们想从“形”途径来7

解读导数，即导数的几何意义. 解释几何构造：

f(x0x)f(x0)可以表示为曲线的割线PQ的斜率，x如图，当点Q(xQ,f(xQ))沿着曲线f(x)趋近于P(x0,f(x0))时，割线PQ的斜率变化趋势是什么？ 设点P(x0,f(x0)),Q(x0x,f(x0x))，则

利用多媒体进行动态操作，探索x0时

在点P处的切线

，

请问用代数刻画？

问题9：几何直观上我们发现

过定点P的割线QPf(x0x)f(x0)x的无限逼近值的几何意义

切线的定义：设曲线C是函数

的图像，在曲线C上取一点及临近一点

，作割线PQ，当点Q沿着曲线无限逼近点P时，如果割线有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0

处的导数就是函数在该点处切线的斜率. 问题10：前面我们是怎样定义圆的切线的？

答：如果直线和圆有唯一公共点，则这条直线叫做圆的切线；若有两个交点，

则这条直线叫做圆的割线.

判断：

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l1是否为曲线在点A处的切线?

l2是否为曲线在点B处的切线?

讲授：因此在点P附近，曲线f(x)可以用在点P处的切线近似代替。我们把这种思想称为“以直代曲”的思想。在这里“以直代曲”的作用是：若要分析曲线在x0附近的变化情况，只有作出在x0处切线，分析该切线，得出k，即知道f'(x0)，从而知道曲线在该点处升降变化情况. 例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh时，原油的温度(单位:0C)为yf(x)x27x15(0x8）.计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.ylim(x-3)-3f'(2)0,x0xx0第2h附近原油大约以30C/h的速度下降.yf(6)limlim(x+5)5f'(6)0,x0xx0第6h附近原油大约以50C/h的速度上升.解：f(2)lim一般地，f(x0)反映了原油温度在时刻t0附近的变化情况.例2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图像.根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2

附近的变化情况.解：f'(t0)=0,曲线在t0附近平坦，即函数h(t)在t0附近不增不减.f'(t1)0,曲线在t1附近下降，即函数h(t)在t1附近单调递减.f'(t2)0,曲线在t2附近下降，即函数h(t)在t2附近单调递减.从图像可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线的l2倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢.

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七、课堂小结

讲授：本节课我们从不同的角度解读了导数，通过类比方法，学习了切线的定义和导数的几何意义，体会了逼近的思想和以直代曲的思想，同时，数形结合的思想贯穿始终. 概括起来就是“一图二义三思想”. 一图：知识网络图

二义：

1、导数的定义：f(x)limyf(xx)f(x)lim

x0xx0x2、导数的几何意义：函数在某点处的切线斜率等于该点出的导数值. k切=f(x0)limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x三思想：逼近的思想，以直代曲的思想，数形结合的思想.

结束语：

毋庸置疑,随着现代科学的发展和各学科间的相互交融,微积分与数学仍将会得到进一步丰富和发展.希望同学们努力学习微积分，进一步将微积分和数学的理论应用于实践,为人类社会作出更大的贡献.

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八、

板书设计

1.平均速度

1.1.2导数的概念及其几何意义

h(t0t)h(t0)

数学方法

t0tlim1.

数形结合

2.

以直代曲

3.

逼近的思想

2.f(x)在xx0处的导数：

f(x0)limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x11