菱形板书设计及意图

菱形的性质教案

教学目标

1．理解并掌握菱形的定义及性质定理；会用这些定理进行有关的论证和计算．

2．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

预习反馈

阅读教材P55～56，完成下列问题．

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．

如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

2．菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．

如图2，∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，

AC⊥BD，AO＝OC＝12AC，

BO＝DO＝12BD，

AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC．

3．菱形的面积等于底乘以高；菱形的面积等于两对角线乘积的一半．如图，S菱形ABCD＝BC•AE＝12AC•BD．

名校讲坛

例

(教材P56例3)如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位)．

【思路点拨】

本题要求两条小路的长和花坛的面积，可以在Rt△ABO中，应用直角三角形的性质和勾股定理求出OA，OB的长．

【解答】

∵花坛ABCD的形状是菱形，

∴AC⊥BD，∠ABO＝12∠ABC＝12×60°＝30°. 在Rt△OAB中，

AO＝12AB＝12×20＝10. BO＝AB2－AO2＝202－102＝103. ∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20(m)．

BD＝2BO＝203≈34.64(m)．

花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△OAB＝12AC•BD＝2003≈

346.4(m2)．

【方法归纳】

(1)菱形的一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形；

(2)菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的小直角三角形；

(3)应用菱形性质计算的一般思路：

①菱形对边平行、对角相等、四边相等，所以在做题时，可利用等量代换来转换为其他边的长；

②菱形的对角线互相垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长．

【跟踪训练1】

菱形的周长为4，两个相邻内角度数为1∶2，则该菱形的面积为(A) A.32

B.3

C．2

D．23 【跟踪训练2】

(《名校课堂》18.2.2第1课时习题)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.AE和AF有什么样的数量关系？说明理由．

解：AE＝AF. 理由：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD. 又∵E，F分别为BC，CD的中点，

∴BE＝12BC，DF＝12CD.

∴BE＝DF. ∴△ABE≌△ADF(SAS)．

∴AE＝AF. 巩固训练

1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D) A．对边相等

B．对角相等

C．对角线互相平分

D．对角线互相垂直

2．如图，在菱形ABCD中，下列结论错误的是(D)

A．BO＝DO B．∠DAC＝∠BAC

C．AC⊥BD

D．AO＝DO 3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是(D) A．12

B．16

C．20

D．24

4．已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为5cm.

5．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是(3，4)，则点C的坐标是(8，4)．

6．如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，AB＝6. (1)求∠ABC的度数；

(2)求AC的长．

解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，

∴∠BCD＝2∠ACD＝60°. ∴∠ABC＝180°－60°＝120°.

(2)连接BD交AC于点O，则∠AOB＝90°，AO＝CO. ∵∠ACD＝∠BAC＝30°，

∴在Rt△AOB中，OB＝12AB＝3. ∴OA＝AB2－OB2＝33. ∴AC＝63. 7．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB. (1)求∠ABC的度数；

(2)如果AC＝43，求DE的长．

解：(1)∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝DB. ∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，AD∥BC. ∴AD＝DB＝AB. ∴△ABD为等边三角形．

∴∠DAB＝60°. ∵AD∥BC，

∴∠ABC＝180°－∠DAB＝180°－60°＝120°，即∠ABC＝120°. (2)∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，AO＝12AC＝12×43＝23. 由(1)可知，DE和AO都是等边△ABD的高，

∴DE＝AO＝23. 课堂小结

1．菱形的定义．

2．菱形的性质．

3．菱形与平行四边形、矩形的关系．