11.1 生活中的不等式教学设计内容推荐

8．1认识不等式

教学目标

1．知道不等式的定义。

2．理解不等式的解和方程的解的异同。

3．会根据问题列不等式。

4．会将实际问题抽象成数学问题，并用学到的知识解决问题，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。

教学重难点

重点：不等式的定义、不等式的解及列不等式。

难点：总结归纳不等式及不等式的解。

教学模式：

自主——合作——探究

教学过程

一、创设问题情境。

公园(或本地区的某个旅游景点)的票价是每人5元。团体参观旅游优惠，一次购票满30张，每张票可少收1元。某班有27名学生去公园进行参观活动，假如要你去买票，请问你打算买多少张?你向每位学生收多少钱?

这里可先由学生自己思考，是买27张还是买30张?然后让学生自己算一算。

买27张票，要付款：5×27=135元。

买30张票，要付款：4×30=120元。

引导学生：你说是买30张票花钱少还是买27张票花钱少?

通过计算发现，用120元就可以买到30张票，而用135元却只能买到27张票，是什么原因?

列出两个不等式：

27张<30张，

135元>120元。

二、探索学习。

1．我们继续探讨上面的问题。

问题1：我们只用120元买了30张票，我们是不是就买30张票?请大家讨论。

如果买30张票，我们不仅省钱，而且多买了票，那剩下的票怎么办?是卖掉?扔掉?还是送给困难的学生和门外的一些穷人?从而培养学生怜贫悯苦的友爱之心。(对学生进行思想教育。) 问题2：买30张票比买27张票付的款还要少，这是不是说多买票反而花钱少?如果你一个人去参观，是不是也买30张呢?

请你计算10人、20人、21人、22人、23人、24人、25人、26人……去的时候，分别要付多少钱? 人数

10 20 21 22 23 24 25 26 27 所付钱数

50 100 105 110 115 120 125 130 135

从这些计算中，你能发现什么问题? 问题3：至少要有多少人去参观，多买票反而便宜?能否用数学知识来解决?

引导学生分析:设有x人要去公园参观。

(1)如果x≥30，则按实际人数买票，每张票只要付4元。

(2)如果x<30，那么：按实际人数买票。张，要付款5x元；买30张票要付款4×30=120元。

如果买30张票合算，则120<5x。

问题4：x取哪些数值时，上式成立?

(1)你能否结合前面学的解方程的知识，尝试解这个不等式。

(2)列表计算。

X 5X 比较120与5X的大小

120< 5X成立吗？

21

22

23

24

25

26

…

…

…

…

问题5：由上表可知，当x=25，26，27，28，…时，也就是说，至少要有25人进公园时，买30张合算。即当x>24时，5x，120。

2．概括总结。

(1)像上面出现的135>120，27<30，5x>20，x<30那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式。

不等号有：<、>、≠、≤、≥。

(2)不等式120<5x中含有未知x。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

不等式的解可以有无数个。

如上例中，x=25，26，27，…等都是120<5x的解，x=24，23，22，21则都不是不等式的解。

三、应用举例。

例1

用不等式表示：

(1)x是负数；

(2)x是非负数；

(3)x的一半小于-1。

(4)x与4的和大于0.5。

(这几个题可先让学生同桌之间互相讨论，再指名学生回答，最后让学生自己纠正。)

注意强调非负数的意义。

例2列不等式：

(1)一个数的绝对值不小于0。

(2)两数积的2倍不大于这两数的平方和。

注意：“不大于、不小于”的意义，教学时应让学生熟悉其含义，并可让学生举几个例子。

四、巩固练习。

1．课本第56页练习的第l、2、3题。

五、课堂小结。

这节课你学了哪些内容?你有哪些收获或感受?还有哪些需要老师和同学们帮你解决的问题，你有没有新的解法和思路要告诉大家?你还有什么新的见解? 六、布置作业。

1．课本第56页习题13．1的第1、2题。

七、板书设计：第八章 一元一次不等式 8．1

概念：

例1.

例2.

练习

认识不等式

8．2解一元一次不等式

1、不等式的解集

教学目标

1．理解不等式的解集和解不等式解集的概念，会用数轴表示不等式的解集。

2．通过观察、比较、归纳，培养学生分析解决问题的能力和数形结合能力。

3．培养学生认真探究问题的良好习惯。

教学重难点

重点：不等式的解集和用数轴表示不等式的解集。

难点：理解不等式的概念。

教学模式：

自主——合作——探究

教学过程

一、复习活动。

1．什么是方程的解?

2．什么叫不等式?

3．判断0、1、2、3、0.5、100、-0.6是不是不等式2x-1>-3的解?

(通过复习旧知识，引入不等式解集，对比学习。)

二、学习讨论。

我们通过上面的复习，你发现了什么问题?

指名学生回答，其他学生补充、归纳、总结不等式的解与一元一次方程的解的区别、联系。

(提出问题让学生自学、交流，养成良好的学习习惯。让学生回答、交流，培养学生的“说数学的习惯。)

三、学习探究。

1．问题：不等式2x-1>-3有多少个解?方程2x-1=-3有几个解?

让学生展开讨论、交流，找出其相同和不同之处。

不等式2x-1>-3的解既然有若干个，我们可以将这些解集合起来，组成这个不等式的解集。

2．归纳总结。

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。

让学生形象地说明或解释不等式的解集。

3．什么叫解不等式?

类比什么叫解方程，得出：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

4．我们学的有理数可以用数轴上的点来表示，那么x>3、x≤3、x<3、

x≥3该分别怎样在数轴上表示出来?

由学生在黑板上演示，或用几何画板演示。

观察讨论x>3、x≤3、x<3、X≥3有什么区别?在数轴上怎样表示?三、应用举例。

例1

比较两个不等式x≥2和x≤2的解集，它们有什么不同?在数轴上表示它们的不同。

(由学生自由讨论，并在练习本上画出来。)

例2

你能看出在数轴上所表示的不等式的解集是什么吗?

(此两题的目的在于培养学生由数到形和由形到数结合的能力，发展学生的逆向思维能力和从多个角度思考问题的习惯。)

四、巩固练习。

1.课本第58页练习第1、2、3题。

2.不等式-2

3.请你在数轴上表示出不等式-3

五、课堂小结。

这节课你学习了哪些知识？你有什么收获？

六、作业。

补充习题。

七、板书设计：

8．2解一元一次不等式

1、不等式的解集

探究不等式的解以及其解集的概念

例1 例2 学生板演

2、不等式的简单变形

教学目标

1．掌握不等式的三个基本性质。

2．运用不等式的三个性质对不等式变形。

3．通过不等式基本性质的推导，培养学生观察、归纳的能力。

教学重难点

重点：不等式的基本性质和简单不等式的解法。

难点：不等式的性质3。

教学准备天平、重物

教学模式：

自主——合作——探究

教学过程

一、复习活动。

1．方程的基本性质是什么? 2．解一元一次方程的一般步骤是什么? 二、创设问题情境。

1．一架倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b(虽然有

a＞b)，如果在两边盘内分别加上等量的砝码，则盘子仍然像原来那样倾斜。若两边再加上和原来同样多的物体，天平的倾斜程度仍然不变。

即：a＞b

a＋c＞b＋c，

a＞b

2a＞2b。

2．爸爸的年龄a比儿子的年龄b大，再过10年，爸爸的年龄仍比儿子年龄大，即：a＞b

a＋10＞b＋10。

由这两个问题引入新课，也可根据另外一些实际问题或由学生举些类似的例子引入。

三、探索学习。

1．不等式的性质1

如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c

用语言叙述为：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

(由学生通过实际问题，研究、讨论其中所蕴含的数学思想、方法、规律，渗透概括、归纳的方法。)

2．问题1：你能否用上面的实例说明如果a＞b，那么a－c＞b－c 。

(在天平的两边都去掉等量的物体，天平的倾斜程度不变)

3．问题2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为。的数，不等号的方向是否也不变呢?

探索观察。

将不等式5＞2的两边都乘以同一个不为0的数，比较所得结果。

用“＜”或“＞”填空：

5×3(

) 2×3，5 ×4(

)2 ×4，

5×(－2)(

)2×(－2)，

5×(－0.5)(

)2×(－0.5)，

5÷3(

)2÷3，

5÷4(

) 2÷4，

5÷(－2)(

)2÷(－2)，

5÷(－0.5)(

)2÷(－0.5)，

提问：你能从中发现什么?

(不要急于拿出结论，而要给学生充分的计算、比较、分析、思考和讨论的时间，让学生充分认识到这个规律。)

4．概括得到以下二个不等式性质：

不等式的性质2

如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc。

用语言表述为：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的性质3

如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc。

用语言表述为：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

5.和方程的性质相比较。

6．问题4：“在不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向不变。”请你举例说明是错误的。

(让学生充分举例，真正掌握不等式性质3。) 四、应用举例。

与解方程一样，解不等式的过程，就是求不等式的解集，即将不等式变形成x＞a 或x＜a的形式。

例1

解不等式：

(1)x－7＜8；

(2)3x＜2x－3。

(分别与解方程x－7＝8，3x＝2x－3相比较。)

(让学生比较解方程和解不等式有什么区别?有什么相同之处?)

解不等式中的移项和解方程中的移项相同吗?你能否用移项来进行不等式的变形?

例2解不等式：

1

(1)2

x＞－3；

(2)－2x＜6。

(让学生比较解方程和与解不等式有何相似或不同之处。)

不等式(1)和(2)有什么不同之处? 五、巩固练习。

1．课本第60页练习。

六、课堂小结。

不等式的基本性质是什么?和方程的基本性质相比，有什么相同和不

同之处?本节课有什么收获? 七、布置作业。

补充作业。

八、板书设计：

2、不等式的简单变形

探索不等式的几个基本性质

例1 例2 练习

学生板演

3、解一元一次不等式(1) 教学目标

1．了解什么是一元一次不等式。

1．掌握一元一次不等式的一般解法。

3，会在数轴上表示不等式的解集。

4．通过类比一元一次方程的解法和一般步骤，掌握一元一次不等式的解法和一般步骤，培养学生合情推理能力。

教学重难点

重点：一元一次不等式和解一元一次不等式的一般步骤。

难点：一元一次不等式的解法。

教学模式：

自主——合作——探究

教学过程

一、复习活动。

1．什么叫一元一次方程?

2．已知(m－1)(x－1)m2＋3＝0是一元一次方程，则m＝(

)。

3．解一元一次方程的一般步骤是什么?

4．解方程：

(1)2x－1＝4x＋13；

(2)2(5x＋3)＝x－3(1－2x)；

x+43x-1

(3)

－1 ＝

32二、导入新课。

我们已经学习了一元一次方程和它的解法，那么什么是一元一次不等式?怎样解一元一次不等式?它和一元一次方程有什么区别和联系? 三、学习探索。

1．先让学生举出自己认为是一元一次不等式的例子?并把它们写在黑板上，然后引导学生分析，哪些不是?哪些是?再分析所列不等式的特点，归纳得出一元一次不等式的定义。

(1)只含有一个未知数；

(2)含有未知数的式子是整式；

(3)未知数的次数是1。

符合这三个条件的不等式才是一元一次不等式。

举反例对比，加深学生印象。

5

如：2x＋y＞3，2x2－3x－2＜0，x+1

＞x

2．怎样解一元一次不等式?

刚才你是怎样解的方程?能否参照一元一次方程的解法，尝试解下列一元一次不等式?

例3

解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来。

(1)2x－1＜4x＋13；

(2)2(5x＋3)≤x－3(1－2x)。

3．练习巩固。

课本第61页练习第1题。

x+43x-1例4

当x取何值时，代数式3

的值与2

的差不大于1?

4．总结概括。

(根据例3、例4讨论解一元一次不等式的一般步骤和系数化为1时应注意的问题。)

解一元一次不等式的一般步骤为：

(1)去分母；

(2)去括号；

(3)移项；

(4)合并同类项；

(5)系数化为1。

四、巩固练习。

课本第62页练习第2、3题。

1．若ax－3＞0的解集是x＜－1，则x的值是多少? 0.08x+20.5x-2

2.怎样解不等式：0.03

－0.4

＞1? (先利用分数的基本性质，把分子、分母都乘以100，再去分母。) 五、课堂小结。

这节课你学了哪些内容?你有哪些收获或感受?还有哪些需要老师和同学们帮你解决的问题?你有没有新的解法和思路要告诉大家?你还有什么新的见解? 六、布置作业。

补充作业。

七、板书设计：

3、解一元一次不等式(1) 1.

一元一次不等式的定义

2.

解一元一次不等式的一般步骤

例1 例2 例3

练

习

学生板演

4、解一元一次不等式(2) 教学目标

1．复习巩固一元一次不等式的解法。

2．应用解不等式知识解决实际问题。

3．通过解不等式的知识在实际中的应用，培养学生分析解决问题的能力和数学建模能力。

教学重难点

重点：解一元一次不等式。

难点：列一元一次不等式及分类讨论的思想。

教学模式：

自主——合作——探究

教学过程

一、复习活动。

1．举例说明什么样的不等式是一元一次不等式?

2．解下列不等式：

(])

－4x≥－16；

(2)－3x－5≥2x；

2x-33x-2

(3) 5

≤4

+1

(4)已知ax－a≤0的解集是x≤1，则a的取值范围是(

)。

(让学生独立练习、解答，教师指导纠正。) 二、导入新课。

我们已经学会了解一元一次不等式，那么就可用解不等式的知识解决一些问题。

三、探究学习。

1．探索。

2x-1

例1

求不等式3

＋x＜5的正整数解。

2．讨论，总结。

求不等式的特殊解的方法和步骤是什么?你能不能用自己的话来叙述

一下?

通过讨论得出这类题目的解法是：先求出不等式的解集，再从中找出正整数解或负整数解、非负整数解等。

四、巩固练习。

在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。育才中学25名学生通过了预选赛，他们分别可能答对了多少道题? 先让学生自己思考，怎样解决这个问题?再和学生一起操讨，然后在班

内交流解题的方法。最后教师引导指出可以用列表进行分析的方法；(也可

以用先猜测，然后验证的方法。也可以采取逐个验证的方法。)

（1）列表分析。

题目

对

错或不答

合计

个数

x 20－x 20 分数

10x 5(20－x) 10x－5(20－x) （2）逐个验证。

对的道数

错或不答的道数

分数

20 0 200 19 1 185 18 2 170 17 3 155 …

…

…

五、拓展延伸。

火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用

50节A、B两种型号的货厢将这批货物运至北京。巳知每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物

15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢。按此要求安排A、B两种货厢的节数，共有哪几种方案?请你设计出来，并说明哪种方察的运费最少?

六、巩固练习。

课本第63页练习第1、2题。

七、课堂小结。

如何求不等式的特殊解？应用解不等式解决实际问题的方法和步骤是什么？谈自己的收获和体会。

八、布置作业。

课本第63页的6、7题。

九板书设计：

4、解一元一次不等式(2) 探索

讨论

总结

、

例题分析

练习

学生板演

8．3一元一次不等式组

教学目标

1．掌握一元一次不等式组和一元一次不等式组的解集的概念。

2．会求一元一次不等式组的解集，并会把解集在数轴上表示出来。

3．会列一元一次不等式组解应用题。

4．通过方程与不等式的解集及其解法的对比，培养学生观察及分析和解决问题的能力。

教学重难点

重点：一元一次不等式组及其解集的概念和解法。

难点：一元一次不等式组的解法及其应用。

教学模式：

自主——合作——探究

课时安排

2课时

教学过程

第一课时

一、复习活动。

1一什么叫方程的解?

2．解一元一次不等式的一般步骤是什么?

3．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。

(1)3x－1＞

2x＋1；

(2)3－x≤1。

(为解不等式组做铺垫。)

二、导入新课。

让学生看课本中的问题3。

用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存

的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多少时间才能将污水抽完?

三、探索学习。

1．分析。

因为每分钟抽水30吨，所以设需要。分钟才能将污水抽完，则x分钟抽的水是30x吨。

由题意可知，积存的污水在1200吨到1500吨之间，因此可列不等式组为：

1200≤30x≤1500 或

30x≥1200

30x≤1500

(这个过程可以让学生自己来说，如果有的学生说不明白，可让其他学生补充，或者教师点拨、启发。)

2．引人一元一次不等式组的概念。

由两个或两个以上的一元一次不等式合在一起，就得到了一个一元一次不等

式组。注意：

(1)1200≤30x≤1500是不等式组的另一种形式。

(2)一元一次不等式组中的不等式可以有多个，但必须都是一元一次不等式。

3．不等式组的解集。

不等式组的解应使不等式组中各个不等式都成立。因此不等式组的解

集应是不等式组中各个不等式的解集的公共部分。

4．练习。

让学生分别求出上面所列的不等式组中各个不等式的解集，并把各个解集在数轴上表示出来。

解：解不等式①得：x≥40

解不等式②得：x≤50。

那么，这个不等式组的解集是什么?

(让学生展开讨论，然后总结出不等式组的解集庄为两个不等式解集的公共部分。这个解集可以通过数轴直观地表示出来。)

让学生画数轴表示这两个不等式的解集的公共部分，找出不等式组的解集。

这两个不等式的解集在数轴上表示为：

因此这个不等式组的解集为：40≤x≤50

即所提问题的答案为：大约需要40到50分钟才能将污水抽完。

5．概括总结。

(1)几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

(2)解一元一次不等式组的方法。

步骤：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分。找公共部分时，可以借助于数轴来帮助我们直观表示一元一次不等式组的解集。

四、举例及应用。

例1

解不等式组：

3x－1＞2x＋1

①

2x＞8

②

让学生板演。

练习：解不等式组：

3x－1＞2x＋1

①

2x＜8

②

五、布置作业。

课本第69页复习题第4题。

六、课堂小结。

一元一次不等式组的概念，一元一次不等式组的解集和解法。

七、板书设计：

8．3一元一次不等式组 第一课时

分析

探讨

练习

例题：

解一元一次方学生板演

程组

第二课时

一、复习活动。

把下列不等式组的解集在数轴上表示出来。

二、导入新课。

我们已经知道不等式组以及如何解不等式组，那么不等式组在数学中和实际中又有哪些应用呢?

三、新课学习。

1、例2

解不等式组：

2x＋1＜－1

①

3－x≤－1

②

根据上节课学习的解一元一次不等式组的步骤，让学生自己练习，求出这个不等式组的解集。指名学生到黑板板演。

解集为：

因为两个不等式的解集没有公共部分，所以这个不等式组的解集是空集，或者说这个不等式组无解。

2．练习。

(完善解题步骤。)

3．课本第66页的问题4。

我们已经会解不等式组，那么请你用所学知识解答该问题。

小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端；体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端。这时，爸爸的一端仍然着地。后来。小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被跷起离地。猜猜小宝的体重约是多少千克?(精确到1千克)

教师引导分析得出：

妈妈的体重；小宝的体重的2倍，

妈妈的体重＋小宝的体重＜爸爸的体重，

妈妈的体重＋小宝的体重＋6千克哑铃＞爸爸的体重。

然后让学生列不等式组求解。

解：设小宝的体重为x千克，则妈妈的体重为2x千克。

由题意得：

x＋2x＜72

①

x＋2x＋6＞72

②

解不等式①得：x＜24

解不等式②得：x＞22 在数轴上表示为：

所以不等式组的解集为：22＜x＜24。

所以小宝的体重约为13千克。

(也可以让学生用算术法解这个题。让学生自己讨论、思考，发表自己

的见解和自己的解法。)

三、巩固练习。

三角形的三边长分别是4、7、1－2a，求a的取值范围。

四、拓展延伸。

已知y＝2x－1，当y取什么值时，－3≤x≤7?

五、课堂小结。

1．不等式组的解集的四种情况。

2．用数轴表示不等式组的解集。

3．解不等式组在实际中的应用。

六、布置作业。

课本第69页复习题的第5、6题。

七、板书设计：

8．3一元一次不等式组 第二课时

例2 练习

问题4

巩固练习

拓展延伸

学生板演