7.1 二元一次方程组和它的解优质课教案设计

西高镇学校七年级下册导学案

第八章《二元一次方程组》

七年级数学（下）

第八章《二元一次方程组》

班级：

导

学

案

姓名：

1

学号：

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（一）：二元一次方程组

学习目标：1、认识二元一次方程和二元一次方程组.

2、了解二元一次方程的解和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解. 学习重点：理解二元一次方程组及二元一次方程组的解的意义.

学习难点：求二元一次方程的正整数解.

导学过程：

一、知识引入

章引言：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负分别是多少？

问题1

依据章引言的问题如何列一元一次方程解决这个问题？（试一试）

问题2

能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？

问题3 这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？

二、新课探究

1、二元一次方程的概念

像这样含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程叫做二元一次方程．

思考：方程xyx1是二元一次方程？为什么？

2

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第八章《二元一次方程组》

练习：下列方程中：①xy2xy7；②4x1xy；③

1y5

；

④5x2y0； x⑤x2y；⑥x2y22；⑦xyz1是二元一次方程的有 。

例1、若方程x2m15y3n27是二元一次方程.求m和n的值

问题4 引言中的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x + y=10 ①和2x + y=16 ②．把两个方程合在一起，写成xy10就组成了一2xy16个方程组．这个方程组含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？

含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．

问题5

满足方程①，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中. x y

追问1 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？

追问2

上表中哪对x，y的值还满足方程②？x= ，y= 还满足方程②．也就是说，x6它是方程①与方程②的公共解，记作

y4追问3

你是如何理解“公共解”的？

一般地，组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

追问4

章引言中问题的解是什么？

这个队在10场比赛中胜 场、负 场．

注意：二元一次方程的解和二元一次方程组的解都是成对出现，须用大括号把未知数的值连接起来。

例2、已知下列三对值：

x6x41x10

y9y3y1

3

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第八章《二元一次方程组》

⑴哪几对数值是方程

1x－y＝6的解？

2⑵哪几对数值是方程2x＋31y＝－11的解？

1xy6⑶哪几对数值是方程组2的解？ 2x31y11

练习：

1、下列三个方程是二元一次方程组吗？为什么？

x2y32xy93xy6① ② ③



2y7zxy2yx

2、请写出一个以x、y为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：

⑴由两个二元一次方程组成；⑵方程组的解为

这样的方程组可以是 。

3、书P89页练习

例3、求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.

例4、把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：

（1）2x－y＝3

（2）

4 x2。

y31x3y10

2

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第八章《二元一次方程组》

三、课堂小结

回顾本节课的学习过程，回答以下问题：

（1）举例说明二元一次方程、二元一次方程组的概念. （2）举例说明二元一次方程、二元一次方程组的解的概念. 四、课堂检测

1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是

（

）

D、12x1x5y2A、

B、

yxy73x4y03x5y2C、xy4

433x2y8

x3y122、判断下列各组未知数的值是不是二元一次方程组xy8的解：

xy10x9

y1x3

y5x11

y13、对于二元一次方程3x2y10，下列结论正确的是（

）

A、任何一对有理数都是它的解；

B、只有一个解；

C、有两个解；

D、有无数个解。

4、在3x2y4中，用含x的代数式表示y，可得__________________。

5、在3x＋y－1＝0中，用含y的代数式表示x，可得__________________。

6、若2x2a1y3b2a5是二元一次方程，则ab___________ 。

7、求方程3x7y4的正整数解。

8、已知，方程x

五、课后作业

教科书

习题8.1 第1、2、3、4、5题

a1(a2)y2是二元一次方程，试求a的值。

5

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（二）：

用代入法解二元一次方程组1

学习目标：1.会运用代入消元法解二元一次方程组；

2.初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”；

3.培养学生的转化思想。

学习重点：会用代入法解二元一次方程组。

学习难点：1.探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程；

2.灵活运用代入法的技巧．

导学过程

一、复习引入

1、什么叫二元一次方程的解？什么叫二元一次方程组的解？

2、将方程5x-6y=12变形：

⑴若用含y的式子表示x，则x=______，当y=-2时，x=_______；

⑵若用含x的式子表示y，则y=______，当x=0时，y=________ 。

3、在方程2x+6y-5=0中，当3y=-4时，x= ____________。

二、新课探究

问题

篮球联赛中,每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？

问题1

你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？

解：设胜x场，负y场．

得：

问题2

这个实际问题能列一元一次方程求解吗？

解：设胜x场，则负

场

得：

问题3

对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？（看书P91页）

例1、解方程组2x3y16

x134y分析：第二个方程中的x134y换掉第一个方程中的x，就得到了一个一元一次方程。

6

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第八章《二元一次方程组》

例2、解方程组xy3

3x8y14分析：将第一个方程变成y=……的形式，可以吗？

归纳：

1、二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想. ．．．．2、上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代．入消元法，简称代入法. ．．．．．．．．．．3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤：

⑴从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. ⑵把⑴中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. ⑶解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. ⑷把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 练习：

y3x14xy5⑴

 ⑵

 2x4y243(x1)2y3

7

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第八章《二元一次方程组》

2x15(y2)xy0⑶5 ⑷

3(x5)4(3y4)56x11y8

变式练习：若方程组

8 4x3y5

的解中x的值比y的值的相反数大1，求k的值。

kx(k1)y8

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第八章《二元一次方程组》

三、课堂小结

回顾本节课的学习过程，并回答以下问题：

（1）代入法解二元一次方程组大致有哪些步骤？

（2）解二元一次方程组的核心思想是什么？

（3）在探究解法的过程中用到了什么思想方法，你还有哪些收获？

四、课堂检测

32ab346aby与xy是同类项，则ab

（

）

1、若x43A、-3

B、0

C、3

D、6 2、已知xy(xy5)20那么x和y的值分别是（

）

A、55555555，

B、，

C、，

D、，



222222223、解方程组

xy5x3y2①



②

2xy5x3y8

y1x21.5x0.5y1③



④43

2x3y52x3y1

9

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第八章《二元一次方程组》

4、已知

xmxn2m6是方程2x－3y=1的解，求代数式的值。

和3n5ynym5、已知方程组

mx3ny13xy6与有相同的解，求m、n的值。

5xnyn24x2y8

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（三）：

用代入法解二元一次方程组2

学习目标：1.会熟练运用代入消元法解二元一次方程组；

2.会列二元一次方程组求解实际问题。

学习重难点：列二元一次方程组求解实际问题。

导学过程：

一、复习引入

1、

2、用代入消元法解二元一次方程组：

5xy24x3y53412⑴

⑵

xy12xy224212

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第八章《二元一次方程组》

二、新课探究

x2y1xym例1、已知方程组和有公共解，求m、n的值。

x2yn2x3y5

例2、根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2:5.某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？

问题3

例2中有哪些未知量？

答：

问题4

例2中有哪些等量关系？

答：

问题5

如何用二元一次方程组表示上面的两个等量关系？你会用代入消元法解决上述问题吗？

问题6

阅读教材P93页上的框图，你能结合框图简述例2的解题过程吗？

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第八章《二元一次方程组》

例3、加工一批配件，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务。已知乙每小时比甲少加工2个零件，零件共350个。问甲、乙两人每小时各加工多少个配件？

例4、某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15％，乙股票下跌10％时卖出，共获利1350元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元

三、课堂小结

问题7

结合例2，请你思考列方程组解决实际问题时应注意什么？

四、课堂检测

书P93练习1、2、3、4 五、课后作业

1、已知，x5y6(3x6y4)0,则(xy)

. 2、已知

3－x＋2y＝0，则

2x－4y－3 的值为---------------------------------（

）

A、－3 B、3 C、1 D、0 3、某车间56名工人，每人每天能生产螺栓16个或螺母24个，设有x名工人生产螺栓，其它y名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，所列方程正确的是（

）

22

13

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第八章《二元一次方程组》

A、xy56xy56xy28xy56

B、

C、

D、

216x24y224x16y16x24y24x16yxy0

⑵、32

2(3x4)3(y1)434、用代入消元法解二元一次方程组：

3x2y8⑴、

2xy3

5、已知Sv0t

8、若方程组

12at，当t=1时，S=13；当t=2时，S=42，求当t=3时，S的值。

22kxk1y3的解x和y互为相反数，求k的值。

4x3y1

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（四）：

用加减法解二元一次方程组1 学习目标：1.会运用加减消元法解二元一次方程组；

2.进一步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”；

3.进一步培养学生的转化思想。

学习重点：会用加减消元法解二元一次方程组。

学习难点：能灵活选择代入法、加减法解二元一次方程组．

导学过程：

一、提出问题，引发讨论

xy22①

我们知道，对于方程组 , 可以用代入消元法求解，除此之外，还有没2xy40②

有其他方法呢？

追问1

代入消元法中代入的目的是什么？ 追问2

这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？

追问3 这一步的依据是什么？

追问4 你能求出这个方程组的解吗？

②-①就是用方程②

的左边减去方程①的

左边，方程②的右边

减去方程①的右边

追问5 ①－②也能消去未知数y，求出x吗？

15

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第八章《二元一次方程组》

二、探究新知

问题2 联系上面的解法，想一想应怎样解方程组

3x10y2.8①

②

15x10y8追问1

此题中存在某个未知数系数相等吗？你发现未知数的系数有什么新的关系？

追问2

两式相加的依据是什么？ 问题3

这种解二元一次方程组的方法叫什么？有哪些主要步骤？

当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或

相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，

得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

追问1

两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么？

追问2

加减的目的是什么？ 追问3 关键步骤是哪一步？依据是什么？

问题4 如何用加减消元法解下列二元一次方程组？

3x4y16

5x6y33追问1

直接加减是否可以？为什么？

追问2

能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同？ 追问3

如何用加减法消去x？

12

16

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第八章《二元一次方程组》

请同学们认真读上面的示意图，然后把刚才讨论的两个方程组完整的解一遍。

（1）3x10y2.83x4y16 （2）

5x6y3315x10y8

课堂检测:用加减法解下列方程组: (1) 4xy24x3y6 (2) 3x2y1 (3) x4y7

17 3x2y54x3y1

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第八章《二元一次方程组》

拓展提高:解方程组

2x3y2x3y73x2y2xyxy143 ⑴ ⑵ 

2x3y2x3y456823

三、小结归纳

用加减消元法解二元一次方程组有哪些关键步骤？

四、课后作业

1．已知方程3x2mn4－5y3m4n1=8是关于x、y的二元一次方程，则m=_____，n=_______．

9x4y12．二元一次方程组的解满足2x－ky=10，则k的值等于(

) x6y11A、4

B、－4

C、8

D、－8 3．甲、乙两人同求方程ax－by=7的整数解，甲正确的求出一个解为x1，•

y1x1乙把ax－by=7看成ax－by=1，求得一个解为，则a=

、b=

。

y24．若二元一次方程2x+y=3，3x－y=2和2x－my=－1有公共解，则m取值为(

) A．－2

B．－1

C．3

D．4

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第八章《二元一次方程组》

5．用加减法解方程组: xyxy52xy4,34(1) 

(2) 

xyxy4x5y23.1143

6．已知(3x+2y－5)2与│5x+3y－8│互为相反数，求x，y的值．

7．若方程组

2x3ym的解满足x+y=12，求m的值．

3x5ym2

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（五）：解二元一次方程组(综合1) 学习目标：1.能选择恰当的方法解二元一次方程组；

2.会列二元一次方程组求解实际问题。

学习重点：会列二元一次方程组求解实际问题。

学习难点：1.能准确地求解二元一次方程组；

2.会列二元一次方程组求解实际问题。

导学过程：

一、知识复习

1、解二元一次方程组的基本思想是 ；具体方法包括 。

2、把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：

⑴15xy3 ⑵23y36x4

42

3、

用代入消元法解下列方程组：

4(xy1)3(1y)23st5⑴ ⑵xy

25s2t1523

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第八章《二元一次方程组》

4、用加减消元法解下列方程组：

31xy12x5y3⑴ ⑵2

24xy32xy3

二、新课探究

例1、2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

问题1 本题的等量关系是什么？

问题2 如何设未知数？列出怎样的方程组？如何解这个方程组

三、课堂检测：教材P96-97页1、2、3题

四、课堂小结

回顾本节课的学习过程，回答以下问题：

（1）结合例题，谈一谈列方程组解决实际问题时应注意什么？

（2）代入消元法和加减消元法有什么联系与区别？如何选择方法运算更简便？

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第八章《二元一次方程组》

四、课后作业

1、选择恰当的方法解下列二元一次方程组：

⑴

x2y95x2y25

⑵

3x2y1

⑶2x3y63x2y2

3x4y153(xy)4(xy)

⑷4xy2xy6122

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（六）：解二元一次方程组(综合2) 学习目标：1.能选择恰当的方法解二元一次方程组；

2.会列二元一次方程组求解实际问题。

学习重点：会列二元一次方程组求解实际问题。

学习难点：1.能准确地求解二元一次方程组；

2.会列二元一次方程组求解实际问题。

导学过程：

一、知识复习

1、解二元一次方程组的基本思想是 ；具体方法包括 。

2、选择恰当的方法解下列二元一次方程组：

xy43(x1)y525⑴



⑵

xy5(y1)3(x5)3715

二、新课探究

yx18132例1、解方程组

2xy28132

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第八章《二元一次方程组》

例2、七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表). 进球数n 投进球的人数

0 1 1 2 2 7 3 ●

4 ●

5 2 同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4•个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?

例3、王大伯承包了25亩土地,•今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,•用去了44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,•获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元?

三、课后作业

1、选择恰当的方法解下列二元一次方程组：

uv10xy2⑴

⑵

3u2v53x2y1

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第八章《二元一次方程组》

2u3v13x2y6342⑶ ⑷

2x3y174u5v76155

3、为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1•号电池和5号电池每节分别重多少克?

4、一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山,•到山顶后又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走4千米,爬山时每小时走3千米,•下坡时每小时走6千米,问旅游者一共走了多少路?

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（七）：解二元一次方程组（综合3）

学习目标：1.能选择恰当的方法准确地解二元一次方程组；

2.会通过解二元一次方程组求解变式问题。

学习重难点：会通过解二元一次方程组求解变式问题。

导学过程：

一、知识复习

1、对于有理数，规定新运算：xyaxbyxy，其中a，b是常数，等式右边是通常的加1法和乘法运算，已知217,(3)33,求6的值. 3

2、如果关于x、y的方程组的值。

x2ym的解是二元一次方程3x+2y14的一个解，求mxy4m

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第八章《二元一次方程组》

二、新课探究

例mxny8(1)1、甲、乙两人同时解方程组,由于甲看错了方程①中的m，得到的mxny5 (2)x4x2解是，乙看错了方程中②的n，得到的解是，试求正确m,n的值。

y2y5

例2、已知关于x、y的方程组2x3yb,问a、b为何值时，方程组有无数多个解？aax6y12.为何值时，方程组有惟一解？a、b为何值时，方程组无解？

27

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第八章《二元一次方程组》

三、课堂小结

1、你学习了哪些知识点？

2、本节课你还有哪些疑惑之处？

四、课堂检测

1、如果2m3n2

，那么m5n3 。

m2n15x4y的值等于（ ）

5x3y2、若5x-6y=0，且xy≠0，则A

23

B

32

C 1

D -1 3、已知单项式2ay5b3x与4a2b24y的和仍是单项式，则x=

、y=

。

4、如果关于x、y的方程组ax2y1有无穷多组解，则a ,b 。

6x4ybax3y9无解，求a 。

2xy15、如果关于x、y的方程组6、选择恰当的方法解下列二元一次方程组：

．．xyxy63m2n5⑴、 ⑵、2

34m2n94(xy)5(xy)2

28

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第八章《二元一次方程组》

xy3x5y7（3）、

⑷、

23

4x2y53000x1600y200

7、解方程组axby2x2x3时，一学生把c看错而得，而正确的解是求a、cx7y8y2y2b、c的值。

8、已知y =kx +b中，当x =2时，y =5;当x =－1时，y =3.求当x =时，y 的值.

29 12

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（八）：

实际问题与二元一次方程组1

学习目标：1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；

2.学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答；

3.培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。

学习重点：探究“二元一次方程组决实际问题”

学习难点：探究“二元一次方程组决实际问题”

导学过程：

一、知识回忆

2xyxy11、解方程组：

346xy42xy16

2、回忆利用方程（或方程组）解实际问题的一般步骤是什么？

二、新课探究

“探究1”的学习：养牛场原有30只大牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？

分析：

问题1 如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？

问题2

题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？

问题3

如何解决这一问题？（试一试）

30

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第八章《二元一次方程组》

解：设每头大牛和每头小牛1天分别约用饲料x kg、y kg，根据题意，得

问题4

请你解这个方程组，并交流一下你是如何解这个方程组的？

问题5

饲养员李大叔的估计正确吗？ （1）在列方程组之前我们先做了哪些工作？

（2）列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？

31

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第八章《二元一次方程组》

“探究2”

据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？

问题6

结合上面的框图，和“探究1”的解决过程，如何解决这个问题？

追问1

本题研究的是长方

形面积的分割问题，你能画

出示意图帮助自己理解吗？

追问2

作物产量比与种植面积的比有什么关系？

追问3

能求出x，y吗？

问题7

如何表述你的种植方案？

问题8

还有其他设计方案吗？

32

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第八章《二元一次方程组》

（1）列一元一次方程解决实际问题的一般过程是什么？

（2）你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点？

练习：

1．如图，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个相同的长方形，求长方形ABCD的长和宽．

2、

甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米处．若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度各是多少？

33

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第八章《二元一次方程组》

三、、课堂检测：（1、2、3、4题只列方程组不需求解）

1.如果长方形的周长是20cm，长比宽多2cm．若设长方形的长为xcm，宽为ycm，•则所列方程组为：

2．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分．•小英做了全部试题得70分，则她做对了多少道题？请自己设出相应的未知数并列出方程组。

3．足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．•一支青年足球队参加15场比赛，负4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？请自己设出相应的未知数并列出方程组。

4.

今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年前哥哥和妹妹的年龄。请自己设出相应的未知数并列出方程组。

5．实验中学组织爱心捐款支援灾区活动，九年级一班55名同学共捐款1180元，捐款情况见下表．表中捐款10元和20元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，请你帮助确定表中的数据．

捐款

5 10 20 50 （元）

6

7 人数

6.

小明到商店买东西，下面是他和售货员阿姨的对话：“我买这种牙膏3支，这种牙刷5把”．“一共15元6角”．付款后，小明说：“阿姨，这支牙膏我不要了，换一把牙刷吧！”“还需找你2元”．从他们的对话中你能知道牙刷、牙膏的单价吗？

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第八章《二元一次方程组》

7. 某哨卡运回一箱苹果，若每个战士分6个，则少6个；若每个战士分5个，•则多5个，那么这个哨卡共有多少名战士？箱中有多少个苹果？

四、课后作业

教科书

习题8.3 第2、3、4、5题

《二元一次方程组》导学案（九）：

实际问题与二元一次方程组2 学习目标：能分析“探究3”中的数量关系，会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．

学习重点：分析复杂问题中的数量关系，建立方程组

．

一、课前预习：

小龙在拼图时，发现8个一样大的小长方形，恰好可以拼成一个大长方形，如图甲所示，陈晔看见了说“我来试一试”，结果陈晔七拼八凑。拼成一个如图乙的正方形，中间留下一个洞，恰好是边长2mm的小正方形，你能算出小长方形的长和宽吗？

图甲

图乙

35

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第八章《二元一次方程组》

二、“探究3”

如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

问题1

要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？

原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路

销售款与产品数量有关，

因此，我们必须知道产品的数量

运费与产品数量和原料数量都有关．

和原料的数量．

问题2

本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？

一类是公路运费，铁路运费，价值；

另一类是产品数量，原料数量．

销售款原料费 运输费（公路和铁路）产品数量原料数量

36

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第八章《二元一次方程组》

产品x吨公路运费(元)铁路运费(元)价值(元)原料y吨合计

问题3 你能完成教材上的表格吗？

问题4

你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？

问题5 这个实际问题的答案是什么? 销售款：原料费：运输费：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具。用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义？

37

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第八章《二元一次方程组》

二、例题示范

例1、一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示．

甲种货车（辆）

乙种货车（辆）

总量（吨）

第1次

4 5 28.5 第2次

3 6 27 这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：菜农应付运费多少元？

练习：一张方桌由一张桌面与四根桌腿做成，已知一立方米木料可做桌面50个，或做桌腿300根，现有5立方木木料，恰好能做桌子多少张？

三、课堂小结

（1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？

当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数．

（2）如何更好地分析“探究3”这样数量关系比较复杂的实际问题？

38

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第八章《二元一次方程组》

四．课后作业: 1、某服装厂要生产一批同型号的运动服，已知每3米长的布料可做2件上衣或3条裤子，现有布料600米，请你设计一下，如何分配布料，使运动服成套而不浪费。

2、已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新两位数比原数小9，求这个两位数。

3、教科书

习题8.3 第5、8题

4、某水果批发市场香蕉的价格如下表：

购买香蕉数

每千克价格

不超过

20千克

6元

超过20千克但

不超过40千克

5元

40千克

以上

4元

张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，•请问张强两次各购买香蕉多少千克．

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（十）：

解三元一次方程组1 学习目标： 1.认识和理解三元一次方程组；

2.探索并掌握三元一次方程组的解法。

学习重点：探索并掌握三元一次方程组的解法。

学习难点：掌握三元一次方程组的解法。

导学过程

一、自主学习与合作探究

（1）二元一次方程组的概念是什么？

（2）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的实质是什么？

基本方法： ；实质： 二元一次方程组消元一元一次方程

二、明确概念，解决问题：

小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍。求1元、2元、5元纸币各多少张？

分析：

（1）题目中有几个未知量？

（2）题目中有哪些等量关系？

（3）如何用方程表示这些等量关系？

解：设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．据题意可以得到下面三个方程：

把上面三个方程用大括号合在一起：

像上面的方程组，它具备三个特征，分别为: ① ; ② ; ③ . 像这样的方程组叫做三元一次方程组．

如何解这个三元一次方程组呢？

（1）二元一次方程组是如何求解的？

（2）三元一次方程组可不可以用类似的方法求解？

40

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第八章《二元一次方程组》

xyz12，①x2y5z22，②x4y.③

对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？完整的解一遍。

总结提炼：

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．

三元一次方程组

消元消元二元一次方程组一元一次方程

3x4z7巩固练习：解三元一次方程组2x3yz9

5x9y7z8

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第八章《二元一次方程组》

三、课堂检测

1、解三元一次方程组：

x2y93xyz4⑴yz3 ⑵2x3yz12

2zx47

y2x⑶75x3y2z2 3x4z4

xyz64x9y12⑷3y2z1

7x5z19442

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第八章《二元一次方程组》

四、课堂小结

（1）三元一次方程组的概念是什么？

（2）如何解一个三元一次方程组？

五、课后作业

1、解三元一次方程组：

4x9z172x4y3z9⑴3xy15z18 ⑵3x2y5z11

x2y3z2

x:y3:2⑶y:z5:4 xyz66

书：P106练习1、2

5x6y7z13⑷x:y:z1:2:72xy3z21

43

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（十二）：

解三元一次方程组2

学习目标：1.能熟练地解三元一次方程组；

2.会应用三元一次方程组解相关问题。

学习重点：能熟练地解三元一次方程组并会应用三元一次方程组解相关问题。

学习难点：会应用三元一次方程组解相关问题。

导学过程：

一、自主学习

1、解下列方程：

3xyz4xy2⑴2x3yz12

⑵yz1

xyz6zx3

二、合作探究

xy3k1、已知关于x、y、z的方程组yz5k的解使代数式x2y3z的值等于6，求kzx4k的值。

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第八章《二元一次方程组》

2、在等式yax2bxc中，当x=1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60。求a、b、c的值。

3、学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少个？

三、反馈提高

21、在等式yaxbxc中，当x=1时，y= 2；当x= 1时，y=20；当x= 31与x= 23时，y的值相等，求a,b,c的值。

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第八章《二元一次方程组》

22、已知x6y2(4y1)3x6z0，则x+y+z的值为多少？

3、解三元一次方程2x3y6zx2yz16

四、课堂小结

请同学们回忆本节课的主要内容。

五、课后作业

1、

解下列方程：

x2y9（1）xyz7

2x3yz12



（2）x2yz4xyz43xy4z546

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第八章《二元一次方程组》

2xyz1x2a2、已知方程组xyz2的解是y2b，求a,b,c的值。

x3y4z3z23c

2x3yz383、已知三元一次方程组3x4y2z56，则x2y2z的值是多少？

4x5yz66

4、用16元钱买了40分，60分，80分三种邮票共28枚，40分邮票和80分邮票的总面值相等，求三种邮票各多少张？

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第八章《二元一次方程组》

《二元一次方程组》导学案（十三）：复习小结

学习目标：1、熟悉本章知识结构，牢记重要知识点；

2、发展学生的形象思维能力和数学建模的意识。

学习重点：熟悉本章知识结构，牢记重要知识点。

学习难点：准确选用恰当的知识点解决问题，培养形象思维能力和数学建模的意识。

导学过程

一、知识结构

实

问际二元一次方程组代入（消元）法

题消元思想加减（消元）法

进一步探究利用二元一次方程组分析解决实际问题

二、重点知识阐述与剖析

1、二元一次方程：含有

未知数，并且所含

的次数都是一次的

方程。

2、二元一次方程的解：

。

3、二元一次方程组：由两个

方程组成并含有

个未知数的方程组叫做二元一次方程组。

4、二元一次方程组的解：方程组里各个方程的

，叫做二元一次方程组的解。

5、解二元一次方程组的基本思想是

，具体方法是

和

。

6、解三元一次方程组

（

）

（

）

三元一次方程组

（

）

（

）

7、列二元一次方程组解应用题的步骤与列方程解应用提的步骤相同，即“设”“列”“解”“验”“答”. 三、例题示范

例1、若关于x、y的方程组

48

3xy13a1的解满足2x3y，求a的值。

4x3y1a

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第八章《二元一次方程组》

2例2、有一个多项式axbxc，当x1和x8时，这个多项式的值都是0，这可能吗？如果你认为可能，请找出这样的多项式；如果你认为不可能，请说明理由。

3x4yz01x2xyy2例3、已知求：⑴2x4y14z的值；⑵的值。

222xy8z02xy

例4、已进入汛期，7年级1班的同学们到水库去调查了解汛情。水库一共有10个泄洪闸，现在水库水位已超过安全线，上游的河水仍以一个不变的速度流入水库。

同学们经过一天的观察和和测量，做了以下记录：上午打开一个泄洪闸，在2小时内水位继续上涨了0.06米；下午再打开2个泄洪闸后，4小时内水位下降了0.1米。目前水位仍超过安全线1.2米。

⑴如果打开5个泄洪闸，还需几小时水位降到安全线？

⑵如果防汛指挥部要求在6小时内使水位降到安全线，应该打开几个泄洪闸？

？

49

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第八章《二元一次方程组》

四、课后作业

1、下列方程中：①xy2xy7；②4x1xy；③

1y5

；

④5x2y0； x⑤x2y；⑥x2y22；⑦xyz1是二元一次方程的有 。

2、若2x2a1y3b2a5是二元一次方程，则a_______，b

。

3、已知二元一次方程3x＋2y＝15。⑴求正整数解；⑵求非负整数解.

4、将方程11xy7变形：

⑴若用含y的式子表示x，则___ ___；

⑵若用含32x的式子表示y，则__ ____。

5、解方程组

3xyz35x4y4z13⑴2xy3z11 ⑵2x7y3z19

xyz123x2yz18

8、第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40﹪；第二工程队承包乙工程，晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10﹪。实际上两个工程队同时开工，同时完工。两个工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？

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