2.6 正多边形与圆教学设计方案

2.6正多边形和圆（教案）

教学重点：

1.了解正多边形的相关概念及正多边形与圆的关系，并进行相关的计算。

2.会用量角器画正多边形，用直尺和圆规作一些特殊的正多边形。

教学难点：

正多边形的证明。

教学过程：

操作一

利用手边的工具（直尺、三角板、量角器、圆规……）

画一个边长为2cm的正三角形； 画一个边长为2cm的正方形.

得出正多边形的定义，欣赏生活中的美丽图案，感受数学之美存在于生活的方方面面。并辨析“能否说各边相等的多边形是正多边形吗？或者说各角相等的多边形是正多边形吗？为什么？”

操作二

你会画正五边形吗？

谈谈你的画法，说说你的理由。

引出正多边形和圆的关系：

o

思考

各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.

正多边形中的相关概念：中心，中心角，半径，边心距。

数学文化材料阅读：“刘徽割圆术”

感受中国古代数学文化的博大精深，和古代数学家精益求精孜孜不倦的研究精神，培养学生积极地发现问题，独立自主地解决问题的意识和能力。

例题（体会转化思想）

有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积.

.

变式1、利用图1作一个圆内接等边三角形，并求出该三角形的边长. 变式2、图1中连接AD，并求AD的长. 变式3、利用图1作一个圆内接正方形AGDH，如果点H在弧BC上，那么BH是该圆的内接正十二边形的一边吗？为什么？

备用图 备用图 备用途

提升

如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

设D是AB边上一点，在图中作出一个

（1）正三角形DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上．

（2）正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．

数学文化阅读材料：

某个古代数学爱好者以不同长度的半径画了一些圆，出于好玩，他取了每个圆的直径（将半径加倍）以每个圆的直径为单位长度在圆周上丈量。令人惊奇的是，不管圆的大小如何，圆周长总是直径的3倍多一点。也就是说,圆的周长和直经的比是个与圆的大小无关的常数。

为了探求这个常数究竟是多少，很多数学家都做了大量的研究。今天老师给大家介绍我国数学家刘徽在公元200年间发明的割圆术。

中国古代从先秦时期开始，一直是取"周三径一"(即圆周周长与直径的比率为三比一)的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用"周三径一"计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗?如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周"合体"而完全一致了。总之，"割圆术"是以"圆内接正多边形的面积"，来无限逼近"圆面积"。刘徽形容他的"割圆术"说:割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率

为3.1415和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个"割圆术"新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。刘徽所创立的"割圆术"的方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘。

"割圆术"的发明和使用，展示了数学中的几何图形是美妙的，每个图形即互相独立，各有千秋，又互相依存，相辅相成。