复习题24教学目标

“隐圆模型问题”教学设计 广州市花都区圆玄中学 舒荣芳

教学内容分析：

随着中考命题的不断创新，对于既能考查学生分析问题能力，又能考查学生思维创新素养的考题，越来越受命题者的青睐。纵观近些年各地数学中考题，发现图形中本来没有圆，但在解题过程中要用到圆的知识或用圆的知识求解更简捷，我们称这类问题为“隐圆模型问题”。

隐圆模型问题是近年的高频考题，很多考生对此类题望而生畏，是学生心中的难题。经过摸索，我们发现，其实解决这类问题并不难，只要将隐藏于题中的圆显现出来，便可轻松解题。

隐圆模型问题有很多类，比如，定线定角、定点定长、四点共圆。但本节课我们只研究学生最常见的定线定角类和定点定长类问题。主要目的是让学生感受到，看起来比较难的问题，一旦隐圆被显现出来后，给解题带来的巨大便捷，同时提高解决这类隐圆问题的能力。本节课涉及的隐圆模型基本类型图解：

模型一：定线定角类；

模型二：定点定长类；

COCDABCOBA

隐圆模型问题知识储备：

储备一：⊙O外点P到⊙O上最远距离的点是点F，点P到⊙O上GPOFC最近距离的点G。

OAHB

储备二：⊙O上到弦AB最大距离的点是点C，CH的长是圆上点到弦的最大距离。

破解隐圆问题的策略：（动点轨迹快速确定）

定线定角跑双弧；定点定长走圆周。

解决隐圆问题的关键点：看出题中隐藏的圆，并显现该圆。

教学目标：

1能让学生根据已知与所求剖析、显现隐藏圆。学生能根据问题所属类型（定点定长、定线定角）正确构造隐圆。学生能正确解决简单的隐圆问题。

学情分析：

教学本课时内容前，本班大部分学生对于此类隐圆问题感到难度很大，主要障碍点在于找不到解题的切入点，尤其是遇到动点问题，因不明确动点运动轨迹而无法思考。如何剖析寻找隐藏的圆，如何利用条件和问题分析确定圆心，从而顺利地将隐圆显现出来，这些都是本节课要与学生一起经历、总结的。因学生整体数学基础较好，有较强的数学能力，所以本专题作为提高学生的中考应试解题能力会有很明显的效果。

教学过程：师：中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现。今天这节课我们一起来见识一下。小测，看看哪些同学做得又对又快。完成了举手示意。（师巡视）

如图①，点Ｐ是⊙O外一点，请描出点Ｐ到⊙O上最远距离的点M和最近距离的点Ｎ。

如图②，为⊙O的弦，点C是⊙O上一个动点，请画出表示到弦AB最大距离的线段CH。

OPOAB图①图②。如图，是⊙O的弦，∠AOB=90，点Ｃ、Ｄ、Ｅ都在⊙O上，则∠Ｃ与∠Ｄ的数量关系是 ，∠Ｅ与∠Ｄ的数量关系是 。CODAEB师：（）展台展示学生前两题答案；有没有做错的，同位同学帮一下。（）（课件）问生为什么填这样的数量关系。∠Ｃ、∠Ｄ都是多少度？师连线，这角多少度？我们可以发现，与弦AB所对的45角的顶点全部锁定在这条优弧上；与弦AB所对的135角的顶点又锁定在哪里呢？师：（课件）当去掉这些图形，只确定线段的长度和它所对角的度数时，你能否准确找到所有符合要求的角的顶点位置。请试一试。（师巡视：审题找关键词、用铅笔画草图、对照草图分析如何锁定这些点）设计意图：为后面定线定角类隐圆模型铺垫，提供思维原图。。。

二、试一试如图，22，点Ｃ是外的一点（）若∠ACB=45，请找出所有符合题意的点C。

（2）若∠ACB=135，请找出所有符合题意的点C。

（3）若∠ACB=90，请找出所有符合题意的点C。ABABAB。。。师：（）（课件）请生上台分析如何找到第题中的所有点C（屏幕上）。

（）师点拨：当线段固定，且这条线段所对角的大小也确定，则角的顶点不是唯一固定的点，这些点一定在以这条线段为弦的圆上，度角的顶点都在优弧上。度角的顶点又都在哪里呢？因为圆内接四边形的对角互补，度角的补角是度，所以度角的顶点都在劣弧上。度角的顶点被锁定在哪里呢？师：线段固定，这条线段所对角一旦确定，则这些角的顶点一定在以这条线段为弦的圆弧上。可能是锐角、直角、钝角，请用三句话告诉大家如何快速确定角的顶点位置吗？（锐角顶点在优弧上，钝角顶点在劣弧上，直角顶点在半圆上）为什么？与同位同学交流一下。师板（右）：刚才是确定了线段，确定了它所对的角，则角的顶点在圆弧上（跑双弧）简单地说成“定线定角跑双弧”设计意图：在圆周角性质原图基础上去掉相应数学元素，特意保留必要的两个线角元素，让学生体验到隐圆模型的问题的来龙去脉。既见识新模型，又为后面探寻解题思路提供思维的支架。师：若∠ACB=60，能否快速锁定动点C的位置，草图分析。（判弧估圆心定圆心画圆）请做第题：2.（2017年威海）如图，ΔABC为等边三角形，AB=2，若P为ΔABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，求线段PB长度的最小值。

。

ACB

师：（1）先独立思考，再请学生剖析。

哪些关键条件需要划线？从结论入手分析（板书右），求PB长度的最小值，首先知识符合题意的P点在哪，运动轨迹是怎样的，根据条件∠PAB=∠ACP，任意取一个点P尝试能否分析出所有符合题意的点P在哪？这就是“定线定角”问题，你能快速画出这个圆吗？

（3）怎样求PB的最小值？ 师：像这种，图形中没有出现圆，但在解题中需要用到圆的知识点。我们称这类题为“隐圆模型（板书）”问题，这就是近几年出现的高频率考题。常见的隐圆模型不仅有“定线定角”类，还有“定点定长”类。思考第题。

3.如图，四边形CD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76，求∠CBD的度数。

AD。

BC师：（1）你能将条件“AB=AC=AD”作翻译，挖掘一个隐圆出来吗？（到定点的距离等于定长的点一定在同一个圆上），这就是“定点定长”（板书）类，简单地说成“定点定长走圆周”

（2）怎样求∠CBD？

设计意图：让学生经历剖析问题、构造隐圆、解决问题的过程，体验构造隐圆模型的轻松解决的惬意。正可谓一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来。

三、反思与总结：“定线定角”的前世今生，破解策略是定线定角跑双弧BCCAOBAOCOCDACODOBACDBAB

“定点定长”的前世今生，破解策略是定点定长走圆周CCOOBBAA师：解决隐圆模型问题的关键是“看”出隐藏的圆，需要我们结合条件及问题加以分析，以确定圆心及半径，才能让圆顺利的显现出来。下面试试你的慧眼。从A、B、C组中任意选一题做。三、真题演练

组如图，ΔABC内有一点D，DA=DB=DC，∠DAB=20。，求∠ACB的度数。

ADCB

B组如图，22，点Ｃ是外的一点，且∠ACB=135。，求点C到的最大距离。



ABC组如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AC=AD=5，CD=6，求BD。

ADBC

师：组内交流你们是怎样想的？又是怎样让隐圆显现出来的？

设计意图：小组团结互助，以优带困，让更多的学生在小组交流中体会、学习解决隐圆模型问题的方法与策略，同时设计A、B、C不同难度等级的真题，可促使全体学生积极参与到课堂学习中。

师：本节课的学习目标有三个关键词（剖析、构造、解决），课后梳理一下，有问题欢迎咨询。今天的家庭作业。

家庭作业：点Ｐ是⊙O内一点，请描出点Ｐ到⊙O上最远距离的点M和点Ｐ到⊙O上最近距离的点Ｎ。

P

O

如图，长2米的梯子AB竖直放在墙角，

点P是梯子的中点。在梯子沿着墙角缓慢下滑，直至水平地面的过程中，求点P的运动轨迹的长度。

B1AA1PB，O

3.如图，边长为2的等边ΔABC的顶点B在x轴的正半轴上移动，顶点A在射线OD上移动，∠BOD=30。，求顶点C到原点O的最大距离。

A

OB

板书： 隐圆模型

PB最小值

轨迹 （∠PAB=∠ACP）画草图

圆

定线定角 定点定长