3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案公开课一等奖

倾斜角与斜率

【学习要求】

1．理解直线的斜率和倾斜角的概念；

2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；

3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．

【学法指导】

通过直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想. 【知识要点】

1．倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，我们取

作为基准，

正向与直线l

之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°. 2．斜率的概念：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示,即

. 3．倾斜角与斜率的对应关系

图示

倾斜角

α＝0°

(范围)

斜率

(范围)

0

0°<α<90°

大于0

α＝

斜率不存在

90°<α<180°

小于0

【问题探究】

[问题情境]

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率．

探究点一

直线的倾斜角及斜率的概念

问题1

我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？

问题2

怎样描述直线的倾斜程度呢？

问题3

依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？

问题4

任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

问题5

日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

问题6

如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比)”，那么“坡度(比)”等于什么呢？

小结

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，

即k＝tan α.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在，倾斜角是90°的直线没有斜率．

探究点二

直线的斜率公式

导引

有了斜率的概念，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中x1≠x2)，那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？

问题1

如下图1、图2，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标是什么？

图1

图2 问题2

设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，那么Rt△P1P2Q中，哪一个角等于α？

问题3

根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？

y2－y1问题4

当P2P1的方向向上时，tan α＝成立吗？为什么？

x2－x1问题5

当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

y2－y1小结

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝. x2－x1例1

如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

小结

应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．

跟踪训练1

求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．

（1）(1,1)，(2,4)；

（2）(－3,5)，(0,2)；

（3）(2,3)，(2,5)；

（4）(3，－2)，(6，－2)．

例2

在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l1，l2，l3及l4. 小结

已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率求出另一定点．

跟踪训练2

已知点P(－3，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_______

【当堂检测】

1．对于下列命题：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．

其中正确命题的个数是

(

) A．1

B．2

C．3

D．4 2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于

(

) A．1

B．4

C．1或3

D．1或4 3．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x等于(

) A．1

B．－1

C．0

D．7 【课堂小结】

1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．

2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线.