3.1.3 空间向量的数量积运算教案3

空间向量的数量积

一、新知预习

阅读教材P90—P92，完成下列练习。

二、预习检测

1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分也非必要条件

→→2．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则AE·CF等于

A．0

1

B.

23

C．－

4

1D．－

2

3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于

A.97

B．97

C.61

D．61

4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

5．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a与b的夹角是________．[来源学科网]

三、重难点突破

π例1：已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________. 3例2：在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长．

例3：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，

1AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．

2

例4：已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC. [来源学。科。网]

四、当堂检测

1．如果e1，e2是两个夹角为60°的单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角为________．

π2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________. 33．正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是

A．2

B.3

C.5

D.7 4.a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

五、

课后练习 1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：

①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；

②|a|－|b|<|a－b|；

③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件[来源学科网]

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于

A.7

B.10

C.13

D．4 →4.在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则AE·CF等于

131A．0

B.

C．－

D．－

2425.如图，PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于

A．62

B．6

C．12

D．144 6．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb (λ，μ∈R且λ、μ≠0)，则

A．m∥n

B．m⊥n

C．m不平行于n，m也不垂直于n

D．以上三种情况都有可能

7．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝7，则a与b的夹角为________．

π8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________. 39．在△ABC中，有下列命题：

→→→→→①AB－AC＝BC；

②AB＋BC＋CA＝0；

→→→→③(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形；

→→④若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形．

其中正确的是________．(填写正确的序号)[来源:Z,xx,k.Com]

10.如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.

11．在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且|MB|＝2|AM|，1|CN|＝|ND|，求|MN|. 2

能力提升

→12.平面式O,A.B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于

A.|a|2|b|2－a·b1C.|a|2|b|2－2a·b2

B.|a|2|b|2＋2a·b2

21

D.|a|2|b|2＋a·b2

13.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．

14.如图所示，如果直线AB与平面α交于点B，且与平面α内的经过点B的三条直线[来源学§科§网Z§X§X§K]

BC、BD、BE所成的角相等．求证：AB⊥平面α.