2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案板书设计

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

1.点、线、面的画法与表示

点用一个大写字母表示，直线用一个小写字母表示或用两个大写字母表示，平面用一个希腊字母、、…表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写字母来表示。平面可以无限延展。我们不可能把一个无限延展的平面在纸上表示出来,只能用平面的一部分表示平面，常常用平行四边形来表示平面，不过我们必须要把它想象成无限延展的。立体几何中画图时，被遮住的部分必须画成虚线或不画，目的是为了增强图形的立体感. （见例1）

2.用运动的观点看点、线、面 点动成线，线动成面. 3.用集合的思想看点、线、面

点是空间的基本元素.直线、平面、空间都是点的集合.直线、平面都是空间的子集.直线是平面的子集. 4.点、线、面的基本位置关系

图形

符号

读法

点A在直线l上

A l

Al

A l

Al

A

点A不在直线l上



A

点A在平面内

A



线与线有三种位置关系

A

a//b

点A不在平面内

直线a平行于b

A

b

aabA

直线a、b交于A点

直线a、b异面

直线l在平面内

两直线既不相交也不平行

线与面有两种位置关系

直线在平面内

直线不在平面内（2种情况）



ll



ll

l

直线l与平面平行



A

面与面有两种位置关系

lA

直线l与平面相交于点A



l



l

平面、相交于直线l





//

平面平行于

例1(1)画一个水平放置的平面 平面水平放置时，常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长

(2)画一个直立放置的平面

(3)画直线与平面相交

l

D

C

a

lAα

A

B

β

α (4)画两个平面相交

αβBBβB

βa

ααaAαβAA

图 2

4.四个公理一个定理

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

符号表示为：若Al，Bl，A，B，则l

练习

判断下列命题的真假

①过一条直线的平面有无数多个． ②若一条直线不在平面内,则这条直线与平面没有公共点. ③与一个平面没有公共点的直线不存在． ④若线段AB在平面α内，则直线AB也在平面内a 公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。可简单说成：不共线的三点确定一个平面. 说明：由三点确定的平面可以记作“平面ABC”

练习

一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了，这是为什么？

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线

符号表示为：P，Pl且Pl

例4判断下列命题的真假．

①两个平面的公共点的集合可能是一条线段. ②如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上

③把三角板的一个角立在课桌面上，可以看出，三角板所在的平面与桌面只有一个公共点.(见P12思考) 公理4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行。

此公理说明了直线具有传递性。

等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

5.空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D所组成的四边形叫空间四边形. 相对顶点的连线AC,BD叫空间四边形的对角线. 例2（教材P45例2）已知E、F、G、H分别是空间四边形四条边AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 例3已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且 求证：四边形EFGH是梯形. 证明：如图，连接BD，

CFCG2

CBCD3A1 ∵EH是△ABD的中位线，∴EH//BD,EH=BD 2CFCG22，∴FG//BD,FG=BD 根据公理4，EH//FG 又在△BCD中，CBCD33 又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等.四边形EFGH必是梯形.

EHDBFGC

例4如图，A是平面BCD外的一点，G,H分别是ABC,ACD的重心，求证：GH//BD

证明：连结AG,AH分别交BC,CD于M,N，连结MN

∵G,H分别是ABC,ACD的重心. ∴M,N分别是BC,CD的中点. AAGAH2

∴MN//BD，又∵AMAN3 ∴GH//MN，由公理4知GH//BD

GBMHDNC6.异面直线

(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.即不平行也不相交的两直线是异面直线. (2)空间两条异面直线的画法

ab

ba

(3)异面直线所成的角

ba已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，我们把a,b所成的锐角（或直角）叫做

异面直线a,b所成的角（或夹角），异面直线所成的角的范围：(0,2a]

(4)如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.记作ab

(5)求异面直线所成的角的方法就是平移，有三种情况

C1D1例5教材P47例3，

教材P52 B组1（2）

B1A1例6 如图，在正方体中，异面直线A1D与D1C所成的角是 CD

ABb′bO