1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计范文

专题：命题及其关系与充分、必要条件

※知识要点

1．命题

①对称性：若“p⇒q”，则“

”；

②传递性：若“p⇒q且q⇒r”，则p与r的关系是

．

※题型讲练

(1)概念：用语言、符号或式子表达的，可以

【例1】判断下列命题的正误：

叫做命题，其中判断为真的语句叫做

，判断为假的语句叫做

．

(2)一般形式：若/如果

，则/那么

. 2．四种命题及其关系

(1)四种命题

若用p和q分别表示原命题的条件和结论，四种命题的形式是：

①原命题：若

则

或

；

②逆命题：若

则

或

；

③否命题：若

则

或

；

④逆否命题：若

则

或

．

注意：命题p的否定是指

，记作

；

(2)四种命题间的关系：

(3)四种命题的真假性关系

①两个命题互为逆否命题，它们的真假性

；

②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性

．

3．充分条件与必要条件

(1)若p⇒q，则p是q的

条件，q是p的

条件；

(2)若p⇔q，则p是q的

条件，q是p的

条件；

(3)若p⇒q，q

/p

，则p是q的

条件，

同时，q是p的

条件；

(4)若p

q，q

/p

，则p是q的

条件，

同时，q是p的

条件；

注意：充分条件与必要条件的具备以下两个特征：

(1)“x2＋2x－3<0”是命题(

) (2)“sin 45°＝1”是真命题(

) (3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”(

) (4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真(

)

变式训练1：

1．按要求写出下列命题的相关命题并判断其真假：

(1)命题“若α＝π13，则cos α＝2”的逆命题；

(2)命题“若x＝4，则x2＋3x－4≥0”的否命题；

(3)命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

(4)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题；

【例2】在下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；

(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；

(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．

变式训练2：

1．给下列命题选择合适的条件：

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的

；

(2)若命题p：φ＝π2＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的

；

(3)已知命题p：m<－2，命题q：方程x2－x－m＝0无实根，则命题p是q的

；

(4)给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则命题p是¬q的

．

2．已知p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：

①s是q的充要条件；

②p是q的充分条件而不是必要条件；

③r是q的必要条件而不是充分条件；

④￢p是￢s的必要条件而不是充分条件；

⑤r是s的充分条件而不是必要条件．

则正确命题的序号是

．

【例3】设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|的充要条件是xy≥0．

变式训练3：

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，

求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.

【例4】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，根据下列条件，分别求实数m的取值范围：

(1)若x∈P是x∈S的必要条件；

(2)若¬P是¬S的必要不充分条件．

变式训练4：

1．函数f(x)＝log2x，x>0，－2x＋a，x≤0

有且只有一个零点的充分不

必要条件是(

) A．a<0

B．0

D．a≤0或a>1

2．若命题“xm＋1”是命题“x2－2x－3>0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

3．设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

※课后练习

1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(

) A．“若x

B．“若x>y，则x2>y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”

2．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则命题“m＝－3”是“a∥b”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．给定两个命题p、q，若¬p是q的必要不充分条件，则p是¬q的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．已知条件p：－2

) A．(4,＋∞)

B．(－∞,－4)

C．(－∞,－4]

D．[4,＋∞)

5．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(

) A．a≥4

B．a≤4

C．a≥5

D．a≤5

6．命题“如果x、y∈R，且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是

．

7．给下列命题选择合适的条件：

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)“a＝2”是“{1，2}⊆{1，a，b}”的

；

(2)“m<14”是“方程x2＋x＋m＝0有实数解”的_______；

(3)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的_______；

(4)“a＝1”是“直线x－2ay＝1和ax－2y＝1平行”的_____；

8．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是

____

．

9．已知集合A＝{x|12<2x<8，x∈R}，B＝{x|－1

10．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

11．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．