习题3.2教学实录及点评

§3.2.3立体几何中的向量方法

——利用空间向量求空间角

教学目标

1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；

2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.

教学重点

求解线面角、二面角的向量方法

教学难点

线面角的大小、二面角的大小与其对应的向量的夹角的关系

教学过程

一、复习引入

1.

用空间向量证明空间中的线线、线面、面面平行垂直的方法

表格

2.

两个空间向量a和b的夹角的定义和求法

（1）起点相同

（2）范围0,

（3）两向量夹角公式：cosa,bab|a||b|

二、知识讲解

1.

探究一：两直线（异面直线）所成的角：范围

0,2

（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´

所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为a和b，

a问题1：

当a与b的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成

O的角与a

和b

的夹角的关系？ a,b问题 2：a与b的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角

Obba与a

和b的夹角的关系？ a,b|ab||a||b|结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为cos2.探究二：直线与平面所成的角（范围：思考：设平面的法向量为n，则

n|cosa,b|

[0,2]）

n,BA与的关系？

AAAB



据图分析可得：结论：

OB（图1）

O（图2）

BnO

2n,BAn,BA2sin|cosn,AB||nAB||n||AB|

结论：用向量法求直线和平面所成的角的一般步骤：

1.

求出直线的方向向量

2.

求出平面的法向量

|nAB|3.

利用公式 求出线面角的正弦值求出线面角

sin|cosn,AB||n||AB|3.探究三：二面角[0,]

思考：设平面，的法向量分别为n1,n2，二面角的大小和



n1,n2n1,n2

n1n2

n1



l l

n1n2cos

coscosn1,n2|n1||n2|结论： 或 n1,n2的关系

n1,n2n1,n2

n2cosn1,n2n1n2|n1||n2| 归纳： |n||n|12coscosn1,n2n1n2注意观察所求二面角是若二面角还是钝二面角

三、例题解析

例

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，

(1)求异面直线PA与BE所成的角的大小；

(2)求直线PA与平面PBC所成的角的大小；

(3)求二面角C-PB-A的大小. 解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，点D为坐标原点，设DC=1.

则A(1,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),中点坐标公式得E(0,12,12)

（师生一起解决，以教师讲授为主）

11,)22

(1)PA(1,0,1),BE(1,设直线PA与BE所成的角为，则coscosPA,BEPABEPABE2323232

0，,2，66直线PA与BE所成角的大小为

（师生一起解决，学生先写步骤，教师再在课件上展示）

（2）由(1)知PA(1,0,1),BC设平面PBC的法向量为(1,0,0),PB(1,1,1)m(a,b,c),mPB0abc0则ab0c00mBC0取b1，得c1,a0得平面设直线PBC的一个法向量为PA和平面m(0,1,1)PBC所成的角为PAmPAm，12则sincosPA,m又0，,2，故6

（学生板演，师生一起总结。）

(3)解：由（同理可求得平面设二面角2）可知平面PBC的一个法向量为n(1,0,1)m(1,1,0)PBA的一个法向量CPBA的大小为mnmn12212则coscosm,n又二面角cosCPBA为钝二面角，12，即23CPBA的大小为23所以二面角

四、思想方法：

空间角空间向量的夹角空间角转化转化空间向量的转化1，运算

2.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）有关知识：

五、布置作业

：

一轮复习资料上的第2题，第三题，写在作业本上

P

D

E

A

B

2．向量的