1.2.1 充要条件教学创新设计

一、选择题

x221．椭圆＋y＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点4为P，则|PF2|等于(

) A.3

2B.3 D．4 2，则椭圆27C.

22．(2016·天津红桥区一模)已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为C的标准方程是(

) x2y2A.＋＝1

1612x2y2C.＋＝1

48x2y2B.＋＝1 1216x2y2D.＋＝1 843．已知椭圆E的短半轴长为3，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为(

) 5A.

133C.

54B.

512D.

13x224．(2016·衡水模拟)已知F1、F2是椭圆＋y＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使4|PF1|·|PF2|取最大值的点P的坐标为(

) A．(－2,0)

C．(2,0)

B．(0,1) D．(0,1)或(0，－1) x2y25．(2016·三明模拟)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|4924＝4∶3，则△PF1F2的面积为(

) A．30

C．24

B．25

D．40 6．(2016·长沙一模)如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(

) A．(0,1)

C．(1，＋∞)

B．(0,2) D．(0，＋∞)

x2y217．(2016·衡水冀州中学月考)若椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ab2ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1，x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为

(

) A.2

B.7

C．2

27D.

4

x2y28.(2016·唐山统考)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线3x＋y＝0的对称ab点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(

) 1A.

2C.3

2B.3－1

2D.3－1 x2y29．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左顶点为A，左，右焦点分别是F1，F2，B是短轴的一个端点，ab→→→若3BF1＝BA＋2BF2，则椭圆的离心率为(

) 1A.

21C.

41B.

31D.

5x2y210.如图，椭圆2＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2a2＝120°，则a的值为(

)

A．2

C．4

B．3

D．5 x2211．(2016·潍坊模拟)设F是椭圆＋y＝1的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离为M，41最小距离是m，则椭圆上与点F的距离等于(M＋m)的点的坐标是(

) 2A．(0，±2)

13，±

C.2B．(0，±1) 2D.2，±

212.[2018河南省中原名校高三第二次质量考评,3]命题p:x,y∈R,x2+y2<2,命题q:x,y∈R,|x|+|y|<2,则p是q的

(

) A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.必要充分条件

D.既不充分也不必要条件

二填空题

13.[2013湖北,9,5分][理]如图13-3-1,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=

--------

图13-3-1 14.

[2014浙江,12,4分][理]随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=

. x2y2→→15．已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.ab若△PF1F2的面积为9，则实数b＝________. 16．(2016·豫北六校联考)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝2，若MF⊥OA，则椭圆的方程为____________．

三解答题

17．[2018·大东区模拟]已知500名学生的语文成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如图：

(1)如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？

(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些

同学中随机抽取3人，设3人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望；

(3)根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

①若x～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

a＋bc＋da＋cb＋d③

P(k2≥k0)

k0

0.50

0.40

…

0.010

0.005

0.001 0.455

0.708

…

6.635

7.879

10.828 18．[2018·四川模拟]在高中学习过程中，同学们经常这样说“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”某班针对“高中生物理对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：

编号成绩

物理(x)

数学(y)

1

90

2

85

3

74

4

5 68

63 130

125

110

95

90 ^x＋a^(b^精

(1)求数学y成绩关于物理成绩x的线性回归方程^y＝b确到0.1)，若某位学生的物理成绩为80分时，预测他的数学成绩．

(2)要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以x表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．

x2y2219．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与ab2椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为

答案

1．C

[不妨设F1的坐标为(3，0)，P点坐标为(x0，y0)，∵PF1与x轴垂直，∴x0＝3. x22117把x0＝3代入椭圆方程＋y＝1，得y20＝，∴|PF1|＝，∴|PF2|＝4－|PF1|＝.] 4422222．C

[由题意可得2c＝4，故c＝2，又e＝＝，解得a＝22，故b＝(22)2－22＝2，a2因为焦点在y轴上，故选C.] 3．B

[由已知条件可得b＝3，a－c＝9或a＋c＝9.当a－c＝9时，由b2＝a2－c2＝9，

得a＋c＝1，得a＝5，c＝－4(舍去)；当a＋c＝9时，由b2＝a2－c2＝9，得a－c＝1，

c4得a＝5，c＝4，e＝＝，故选B.] a54．D

[由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，

所以|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝4，

10时，求实数k的值．

3当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，

即P(0，－1)或P(0,1)时，取“＝”．] 5．C

[∵|PF1|＋|PF2|＝14，

又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，

∴|PF1|＝8，|PF2|＝6. ∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2. 11∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.] 22x2y26．A

[x＋ky＝2转化为椭圆的标准方程，得＋＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的22k222椭圆，∴>2，解得0

[由e＝＝，得a＝2c，

a2所以b＝a2－c2＝3c，

1则方程ax2＋2bx＋c＝0为2x2＋23x＋1＝0，所以x1＋x2＝－3，x1x2＝，

222则点P(x1，x2)到原点的距离为d＝x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝3－1＝2，故选A.] 8．D

[设A(m，n)，

则n×(－3)＝－1，m＋cm－cn3×＋＝0，22

c23c2c3解得A，c，代入椭圆方程中，有2＋2＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2，所以(a2－c2)c24a4b22＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以c4－8a2c2＋4a4＝0，所以e4－8e2＋4＝0，所以e2＝4±23，所以e＝3－1.] →→→9．D

[不妨设B(0，b)，则BF1＝(－c，－b)，BA＝(－a，－b)，BF2＝(c，－b)，由条件可1得－3c＝－a＋2c，∴a＝5c，故e＝.] 510．B

[b2＝2，c＝a2－2，故|F1F2|＝2a2－2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理，得cos 120°＝42＋a－2－2×4×a－a2－221＝－，解得a＝3，故选B.] 211．B

[由题意可知椭圆上的点到右焦点F的最大距离为椭圆长轴的左端点到F的距离．

故M＝a＋c＝2＋3，最小距离为椭圆长轴的右端点到F的距离，即m＝a－c＝2－3.

11故(M＋m)＝·(2＋3＋2－3)＝2.易知点(0，±1)满足要求，故选B.] 2212A 13

由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3.

①

8个顶点处的8个小正方体涂有3面,所以P(X=3)=; ②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体,还剩下3个,一共有3×12=36(个)小正方体涂有2面,所以P(X=2)=; ③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形,还剩下9个小正方形,因此一共有9×6=54(个)小正方体涂有一面,所以P(X=1)=.

④去掉①②③所述的小正方体,还剩下125-(8+36+54)=27(个)内部的小正方体的6个面都没有涂油漆,所以P(X=0)=故X的分布列为

.

X

0 P

因此E(X)=0×+1×+2×+3×1

2

3

=.故选B.

14.

由题意设P(ξ=1)=p,则ξ的分布列如下: ξ

P

0 1 p

2 -p

由E(ξ)=1,可得p=,所以D(ξ)=12×+02×+12×=. 15．3 解析

设PF1＝s，PF2＝t，所以s＋t＝2a. →→因为PF1⊥PF2，S△PF1F2＝9，

所以st＝18，s2＋t2＝4c2，

所以s2＋t2＋2st＝4a2＝4c2＋36，

所以4b2＝36，所以b＝3. x2y216.＋＝1 42abx2y2，，F(a2－b2，解析

设所求的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，C22ab0)，依题意，得a2－b2＝2，

b2ba－2a2b22，a－2所以M＝，

a，由于O，C，M三点共线，所以a22x2y2即a－2＝2，所以a＝4，b＝2，所以所求的椭圆的方程为＋＝1. 42222

17解

(1)∵语文成绩服从正态分布N(100,17.52)，

1∴语文成绩特别优秀的概率为p1＝P(X≥135)＝(1－0.96)×2＝0.02，

3数学成绩特别优秀的概率为p2＝0.0016×20×4＝0.024，

∴语文特别优秀的同学有500×0.02＝10人，

数学特别优秀的同学有500×0.024＝12人．

(2)语文和数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，

X的所有可能取值为0,1,2,3. 3C103P(X＝0)＝C3＝14，

162C10C1276P(X＝1)＝C3＝56，

161C10C2156P(X＝2)＝C3＝56，

163C61P(X＝3)＝C3＝28，

16∴X的分布列为

x 0

1

2

3

P 314

2756

1556

128

3271519E(X)＝0×14＋1×56＋2×56＋3×28＝8. (3)2×2列联表：

数学特别优秀

数学不特别优秀

合计

语文特别优秀

6

4

10

语文不特别优秀

6

484

490

合计

12 488 500 2500×6×484－4×6∴k2＝≈144.5>6.635. 10×490×12×488∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

118解

(1)根据表中数据计算－x＝5×(90＋85＋74＋68＋63)＝76，

1－y＝5×(130＋125＋110＋95＋90)＝110，

522222∑x2＝90＋85＋74＋68＋63＝29394，

ii＝55∑xiyi＝90×130＋85×125＋74×110＋68×95＋63×90＝i＝142595，

^＝i1b＝n－－∑xiyi－nxyn42595－5×76×110795＝＝514≈1.5，

－29394－5×7622∑x2i－nxi＝1^－^－a＝y－bx＝110－1.5×76＝－4；

^∴x、y的线性回归方程是y＝1.5x－4，

当x＝80时，^y＝1.5×80－4＝116，

即某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩是116. (2)抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人，

x表示选中的同学中数学成绩高于100分的人数，可以取1,2,3. 12C3·C23C3·C1322P(X＝1)＝C3＝10，P(X＝2)＝C3＝5，

553C3·C012P(X＝3)＝C3＝10. 5故X的分布列为

X P 1

310

2

35

3 110

331X的数学期望值为E(X)＝1×10＋2×5＋3×10＝1.8. 19x2y2答案

(1)＋＝1

(2)k＝±1 42c2解析

(1)∵a＝2，e＝＝，∴c＝2，b＝2.

a2x2y2椭圆C：＋＝1.

42y＝k（x－1），22(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由xy消y，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

4＋2＝1，∵直线y＝k(x－1)恒过椭圆内一点(1，0)，

∴Δ>0恒成立．

2k2－44k2由根与系数的关系，得x1＋x2＝，xx＝.

1＋2k2121＋2k211S△AMN＝×1×|y1－y2|＝×|kx1－kx2|

222|k||k|16＋24k102＝（x1＋x2）－4x1x2＝.

2＝221＋2k3即7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.