1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学实录与评析

空间几何体的表面积和体积复习课教学设计

高一

C部

刘海成

板块一

知识梳理·自主学习

[必备知识] 考点1

多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．

考点2

圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

考点3

柱、锥、台和球的表面积和体积

[必会结论] 1.与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2.几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

[考点自测]

1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(

) (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(

) (3)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.(

) 2π(4)将圆心角为3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(

) 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

2．[2018·长春模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(

)

32A.3

323C.3

答案

D 3．[2018·合肥模拟]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

) B．64 64D.3

A.12＋42 B.18＋82 C.28 D.20＋82 答案

D 4.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(

)

A.2

C.4＋42 答案

C 5.[2017·全国卷Ⅱ]长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．

B．4＋22 D．6＋42

答案

14π

板块二

典例探究·考向突破

几何体的表面积

例1

(1)[2017·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(

)

A.10

B．12

C．14

D．16 答案

B

(2)[2016·全国卷Ⅱ]下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

)

A．20π

B．24π

C．28π

D．32π

答案

C

触类旁通

空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体的直观图．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. 【变式训练1】

[2015·安徽高考]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(

)

A．1＋3

B．1＋22

C．2＋3

D．22 答案

C 几何体的体积

1

补形法求体积

例2

[2017·全国卷Ⅱ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(

)

A.90π

B．63π

C．42π

D．36π

答案

B 2

分割法求体积

例3

[2018·山西五校联考]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(

)

A.5000立方尺

C.6000立方尺

答案

A 3

转化法求体积

例4

如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别B．5500立方尺

D．6500立方尺

为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．

1答案

6

触类旁通

空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.