1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学实录及点评

空间图形的基本关系与公理

第一课时

空间图形基本关系的认识与公理1～3

预习课本P22～25，思考并完成以下问题

(1)空间中点、线、面的位置关系有哪些？该怎样表示？

(2)空间图形的公理1，公理2，公理3的内容是什么？各有什么作用？

[新知初探]

1．空间中点、线、面的位置关系

(1)点与直线的位置关系

①点B在直线l上：B∈l；

②点B在直线l外：B∉l. (2)点与平面的位置关系

①点A在平面α内：A∈α；

②点B在平面α外：B∉α. [点睛]

通常借助集合中的符号语言来表示．点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．

2．空间图形的公理

公理

内容

过不在一条直线上公理1

的三点，有且只有一个平面

如果一条直线上的公理2

两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

如果两个不重合的平面有一个公共点公理3

，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

[点睛]

对公理1必须强调是不共线的三点．

3．公理1的推论

1 图形

符号

A，B，C三点不共线⇒

存在唯一的α使A，B，C∈α

A∈l，B∈l，且A

∈α，B∈α⇒lα

作用

用来确定一个平面

用来证明直线在平面内

P∈α，P∈β⇒

α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点

推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．

推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．

推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．

[点睛]

公理1及其三个推论是用来确定一个平面的依据．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确定一个平面．(

) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面．(

) (3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

2．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为(

) A．P∈a，a∥α

B．a∩α＝P

C．P∈a，P∉α

答案：C

3．若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在____________．

答案：α与β的交线上

D．P∈a，aα

4．根据右图，填入相应的符号：A______平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________. 答案：∈

∉

AC

文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

[典例]

根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)点P与直线AB；

(2)点C与直线AB；

(3)点M与平面AC；

(4)点A1与平面AC；

(5)直线AB与直线BC；

(6)直线AB与平面AC；

2

(7)平面A1B与平面AC. [解]

(1)点P∈直线AB. (2)点C

∉直线AB. (3)点M∈平面AC. (4)点A1∉平面AC. (5)直线AB∩直线BC＝点B. (6)直线AB平面AC. (7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

[活学活用]

1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为(

) A．M∈a，a∈α

C．Ma，aα

B．M∈a，aα

D．Ma，a∈α

解析：选B

根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．

2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：

(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图(1)．

(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图(2)．

题点一：点线共面问题

1.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．

证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，

平面的基本性质的应用

3

∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴lα. ∵b∥c，∴b，c确定一个平面β. 同理可证lβ. 于是bα，lα，bβ，lβ，即α∩β＝b，α∩β＝l. 又∵b与l不重合，

∴α与β重合，

∴a，b，c，l共面．

点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1及其推论、公理2.解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法．通常情况下采用第一种方法．

题点二：点共线问题

2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．

证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1. ∴BD1

平面A1BCD1. 同理BD1平面ABC1D1. ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，

∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C平面A1BCD1，

∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，

∴B，Q，D1三点共线．

点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．

4

题点三：三线共点问题

3．已知平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．

证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，

α∩γ＝l3. ∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，

∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，

则P∈l1α，P∈l2γ，

∴P∈α∩γ＝l3，

∴l1，l2，l3相交于一点P.

证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．

层级一

学业水平达标

1．如果直线a平面α，直线b平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(

) A．lα

C．l∩α＝M

B．lα

D．l∩α＝N

解析：选A

∵M∈a，aα，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故lα. 2．下列命题中正确命题的个数是(

) ①三角形是平面图形；

②梯形是平面图形；

③四边相等的四边形是平面图形；

④圆是平面图形

A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

解析：选C

根据公理1可知①②④正确，③错误．故选C. 3．已知直线m平面α，P∉m，Q∈m，则(

) A．P∉α，Q∈α

C．P∉α，Q∉α

B．P∈α，Q∉α

D．Q∈α

解析：选D

因为Q∈m，mα，所以Q∈α.因为P∉m，所以有可能P∈α，也可能有

P∉α. 4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面(

) A．没有其他公共点

C．仅有两个公共点

B．仅有这一个公共点

D．有无数个公共点

5

解析：选D

根据公理3可知，两个平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D. 5．空间中四点可确定的平面有(

) A．1个

C．4个

B．3个

D．1个或4个或无数个

解析：选D

当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．

6．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．

解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．

答案：1或2或3 7．下列命题：

①若直线a与平面α有公共点，则称aα；

②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；

③三条平行直线共面；

④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．

其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号) 解析：①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或aα；

②正确．由公理3知该命题正确；

③错误．三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；

④如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．

答案：②

8．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．

解析：若l与α有两个不同的公共点，则由公理一知lα，又B∈l，所以B∈α与B∉α矛盾，所以l与α有且仅有一个公共点A. 答案：1 9．将下列符号语言转化为图形语言．

(1)aα，b∩α＝A，A∉a. (2)α∩β＝c，aα，bβ，a∥c，b∩c＝P. 解：(1)

(2)

6

10．求证：三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点．

证明：延长AA1，BB1，设AA1∩BB1＝P，

又BB1平面BCC1B1，

∴P∈平面BCC1B1，

∵AA1平面ACC1A1，

∴P∈平面ACC1A1，

∴P为平面BCC1B1和平面ACC1A1的公共点，

又∵平面BCC1B1∩平面ACC1A1＝CC1，

∴P∈CC1，

即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P. 层级二

应试能力达标

1．能确定一个平面的条件是(

) A．空间三个点

C．无数个点

B．一个点和一条直线

D．两条相交直线

解析：选D

不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．

2．下列推理错误的是(

) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lα

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．lα，A∈l⇒A∉α

D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合

解析：选C

当lα，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．

3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(

) A．必有三点共线

B．可能三点共线

C．至少有三点共线

D．不可能有三点共线

解析：选B

如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确．

4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则(

) A．P一定在直线BD上

7

B．P一定在直线AC上

C．P在直线AC或BD上

D．P既不在直线BD上，也不在AC上

解析：选B

由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．

5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，Cl，则平面ABC与平面β的交线是________．

解析：因为平面α∩平面β＝l，

AB∩l＝D，

所以D∈平面β. 因为AB平面ABC，

所以D∈平面ABC. 又C∈平面ABC，C∈平面β，C∉l，

所以平面ABC∩平面β＝CD. 答案：直线CD

6．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是________．

解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面．

答案：1或3 ∉7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，F，E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

证明：(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1. 在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD. ∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．

(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β. 则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，

∴α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.

8

∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ. 故P，Q，R三点共线．

8．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．

解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上．

由于AB＞CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，

∵E∈AC，AC平面SAC，

∴E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. ∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．

第二课时

公理4及等角定理

预习课本P25～27，思考并完成以下问题

(1)公理4的内容是什么？

(2)等角定理的内容是什么？有什么作用？

(3)异面直线所成的角的定义是什么？求角的方法是什么？

[新知初探]

1．公理4 (1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．

(2)符号表述：a∥b，b∥c⇒a∥c. 2．两条直线的位置关系

(1)共面直线

①平行直线：

9

特征：在同一平面内没有公共点．

记法：直线m与直线n平行，记作m∥n. ②相交直线

特征：在同一平面内有且只有一个公共点．

记法：直线m与直线n相交于点A，记作m∩n＝A. (2)异面直线：特征：不共面的两条直线，没有公共点．

3．等角定理

空间中，两个角的两条边分别对应平行，这两个角相等或互补．

[点睛]

(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．

(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．

4．异面直线所成的角

前提

定义

作法

结论

范围

特殊情况

两条异面直线a，b

过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2

这两条相交直线所成的锐角(或直角)即为异面直线a，b所成的角

记异面直线a与b所成的角为θ，则0°＜θ≤90°

当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b

[点睛]

对异面直线所成角的两点说明

(1)两条异面直线所成的角，是借用平面几何中的角的概念定义的，是研究空间两条直线位置关系的基础．

(2)等角定理为两条异面直线所成的角的定义提供了理论依据，即过空间任一点，引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中不相交的两条直线是异面直线．(

) (2)两条异面直线所成的角一定是锐角．(

) (3)和两条异面都相交的两直线必是异面直线．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

2．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为(

) A．60°

C．30°

答案：D

3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是(

) A．共面

C．异面

B．120°

D．60°或120°

B．平行

D．平行或异面

10

解析：选D

空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．

4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与A1C1所成角的大小是________．

答案：60°

[典例]

公理4及等角定理的应用

如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′. [证明]

因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，

所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′，

所以四边形EBB′E′是平行四边形，

所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′. 所以EE′∥FF′. [一题多变]

1．[变条件，变设问]在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形．

证明：如图所示，连接A′C′，∵M，N分别是A′D′，D′C′的中点，

1∴MN∥A′C′且MN＝A′C′.由正方体的性质可知：

2A′C′∥AC，且A′C′＝AC，

1∴MN∥AC，且MN＝AC，

2∴四边形MNCA是梯形．

11

2．[变条件，变设问]将本例变为：已知E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点，求证：∠BEC＝∠B1E1C1.

证明：如图所示，连接EE1. 因为E，E1分别是AD，A1D1的中点，

所以AE∥A1E1，且AE＝A1E1. 所以四边形AEE1A1是平行四边形．

所以AA1∥EE1，且AA1＝EE1. 又因为AA1∥BB1，且EE1＝BB1. 所以四边形BEE1B1是平行四边形．

所以BE∥B1E1.同理可证CE∥C1E1. 又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同，

所以∠BEC＝∠B1E1C1.

1．证明两条直线平行的方法

(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；

(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．

2．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法：

(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；

(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．

异面直线及所成的角

[典例]

如图所示，已知三棱锥A-BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．

12

[解]

如图，取AC的中点P，连接PM，PN，

因为点M，N分别是BC，AD的中点，

1所以PM∥AB，且PM＝AB；

21PN∥CD，且PN＝CD，

2所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角．

所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角．

因为直线AB与CD成60°角，

所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 又因为AB＝CD，所以PM＝PN，

(1)若∠MPN＝60°，

则△PMN是等边三角形，

所以∠PMN＝60°，

即AB与MN所成的角为60°. (2)若∠MPN＝120°，

则易知△PMN是等腰三角形．

所以∠PMN＝30°，

即AB与MN所成的角为30°. 综上，直线AB与MN所成的角为60°或30°.

求两异面直线所成的角的三个步骤

(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；

(2)证：证明作出的角就是要求的角；

(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的范围是0°＜θ≤90°.

[活学活用]

如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________．

解析：连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′. 又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成角，即45°. 答案：45°

13 ∠B′AB＝

层级一

学业水平达标

1．不平行的两条直线的位置关系是(

) A．相交

C．平行

B．异面

D．相交或异面

解析：选D

若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．

2．在三棱锥S -ABC中，与SA是异面直线的是(

) A．SB

C．BC

B．SC

D．AB

线，BC与解析：选C

如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直SA既不相交，又不平行，是异面直线．

3．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于(

) A．30°

B．30°或150°

C．150°

D．以上结论都不对

解析：选B

∠ABC的两边与

∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°. 4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c(

) A．一定平行

C．一定是异面直线

B．一定相交

D．平行、相交或异面都有可能

解析：选D

当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．

5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(

) A．平行或异面

C．异面

B．相交或异面

D．相交

解析：选B

假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行．(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)c与b可能相交或异面．

6．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对．

解析：六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．

答案：24 7．在空间四边形ABCD中，如图所示，CG＝CD，则EH与FG的位置关系是________．

AEAB＝AHAD，CFCB

14

AEAH解析：如图，连接BD，在△ABD中，AB＝AD，则EH∥BD，

同理可得FG∥BD. ∴EH∥FG. 答案：平行

8．已知∠ABC＝120°，异面直线MN，PQ其中MN∥AB，PQ∥BC，则异面直线MN与PQ所成的角为________．

解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN与PQ所成的角为60°. 答案：60°

9．如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条射线，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点OA1OB1OC1，且OA＝OB＝OC成立．

求证：△A1B1C1∽△ABC. 证明：在△OAB中，

OA1OB1因为＝，所以A1B1∥AB. OAOB同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC. 所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC. 所以△A1B1C1∽△ABC. 10．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1B1C1D1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．

解：如图所示，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交C1D1于点F，

则直线EF即为所求．

理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC. 层级二

应试能力达标

1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为(

) 交A1B1于点E，

A．相交

C．异面而且垂直

B．平行

D．异面但不垂直

15

解析：选D

将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不异面直线．

垂直的2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(

) A．相交

C．相交或异面

B．异面

D．平行

直线解析：选C

如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1相交，与BC异面．

3．异面直线a，b，有aα，bA．c与a，b都相交

B．c与a，b都不相交

C．c至多与a，b中的一条相交

D．c至少与a，b中的一条相交

解析：选D

若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c. 又c与b都在β内，∴b∥c. 由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．

如图，只有以下三种情况．

β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(

) 与A1D1

4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(

) A．空间四边形

C．菱形

B．矩形

D．正方形

别为AC与形解析：选B

如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分AB，BC的中点，∴EF∥AC，同理可得FG∥BD，∴∠EFG或其补角为BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边EFGH为矩形．

5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．

解析：结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．

答案：①②

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6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．

(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________；

(2)AA1与B1C所成的角的度数为________．

解析：(1)∵AA1∥DD1，∴∠DD1C1即为所求的角．

∵∠DD1C1＝90°，∴AA1与C1D1所成的角为90°. (2)∵AA1∥BB1，∴∠BB1C即为所求的角．

∵∠BB1C＝45°，∴AA1与B1C所成的角为45°. 答案：(1)90°

(2)45°

7．如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BAEBF1C上的点，且ED＝FC＝，EF＝5，求AB和CD所成的角的大小．

2解：如图，过E作EO∥AB，交BD于点O，连接OF，

AEBOBOBF所以ED＝OD，所以OD＝FC，

所以OF∥CD. 所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角．

21在△EOF中，OE＝AB＝2，OF＝CD＝1，

33又EF＝5，

所以EF2＝OE2＋OF2，

所以∠EOF＝90°. 即异面直线AB和CD所成的角为90°.

8．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1. 解：连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC，A1D1＝BC，

所以四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥CD1，

所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，

因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，

所以∠AD1C＝90°，

因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB＝BC＝23，

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所以△ACD1是等腰直角三角形．

所以AD1＝2AC. 2又底面ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，

所以AC＝23×sin 60°×2＝6，

∴AD1＝22AC＝32，

所以AA1＝AD21－A1D21

＝(32)2－(23)2＝6. 18