3.4 生活中的优化问题举例优秀公开课教案

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§1.4生活中的优化问题举例（2课时）

学习目标：

1．

使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用

2．

提高将实际问题转化为数学问题的能力

学习重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

学习难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

学习过程：

一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

二．新课

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型

解决数学模型

优化问题的答案

作答

三．典例分析

例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的2竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

解：

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例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

例3．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

（1）

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）

r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：

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例4．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

四．课堂练习

1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积1.8m3）

5．课本

练习课本P104

五．回顾总结

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

建立数学模型

优化问题

解决数学模型

优化问题的答案

2．解决优化问题的方法：

六．布置作业

作答

课本P

104 5，6 共3页

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