3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计一等奖

3.3.33.3.3-3.3.4

点到直线的距离及两平行线距离学案

一．学习目标：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力. 二．重点、难点：

重点：

难点：

三．知识要点：

|Ax0By0C|1. 点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离公式为d. 22AB2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线l1:AxByC10，l2:AxByC20|CC2|之间的距离公式d1，推导过程为：在直线l2上任取一点P(x0,y0)，则Ax0By0C20，即22AB|Ax0By0C1||C1C2|Ax0By0C2. 这时点P(x0,y0)到直线l1:AxByC10的距离为d. 2222ABAB四．自主探究

例题精讲：

110【例1】求过直线l1:yx和l2:3xy0的交点并且与原点相距为1的直线l的方程. 33解：设所求直线l的方程为3yx10(3xy)0, 整理得(31)x(3)y100. 101, 解得3. 由点到直线的距离公式可知，d22(31)(3)代入所设，得到直线l的方程为x1或4x3y50. 【例2】在函数y4x2的图象上求一点P，使P到直线y4x5的距离最短，并求这个最短的距离. 解：直线方程化为4xy50. 设P(a,4a2), 则点P到直线的距离为

d|4a4a25|4(1)22|4(a1/2)24|174(a1/2)2417. 41711时，点P(,1)到直线的距离最短，最短距离为. 1722【例3】求证直线L：(m2)x(1m)y(64m)0与点P(4,1)的距离不等于3. |(m2)4(1m)(1)(64m)||m3|解：由点线距离公式，得d=. 2222(m2)(1m)(m2)(1m)当a假设d3，得到(m3)29[(m2)2(1m)2]，整理得17m248m360.

∵

482417361400，

∴

17m248m360无实根. ∴

d3，即直线L与点P(4,1)的距离不等于3. 点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m，但求解的结果是m无解. 从而假设不成立，即距离不等于3. 另解：把直线L：(m2)x(1m)y(64m)0按参数m整理，

得(xy4)m2xy60. 由xy40x2，解得. 所以直线L恒过定点Q(2,2). 2xy60y2

点P到直线L取最大距离时, PQ⊥L，即最大距离是PQ=(24)2(21)2=5. ∵

5<3，

∴直线L与点P(4,1)的距离不等于3. 第1页

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点评：此解妙在运用直线系(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0恒过一个定点的知识，其定点就是A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点. 由运动与变化观点，当直线PQ⊥L时，点线距离为最大. 【例4】求直线l1:2x3y10与l2:4x6y50的正中平行直线方程. 解：直线l1的方程化为4x6y20. 设正中平行直线的方程为4x6yC0，

|2C||5C|775|，则，即|C2||C解得C. 所以正中平行直线方程为4x6y0. 2242624262点评：先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论：两条平行直线l1:AxByC10，l2:AxByC20的正中平行直线方程为AxBy(C1C2)/20. 五．目标检测

（一）基础达标

1．（1994全国文）点（0，5）到直线y=2x的距离是（

）. 553

A.

B. 5

C.

D.

2222．动点P在直线xy40上，O为原点，则OP的最小值为（

）.

A. 10

B. 22

C. 6

D.

2 3．（03年全国卷）已知点(a,2)(a0)到直线l:xy30的距离为1，则a=（

）.

A．2

B．－2

C．21

D．21

4．两平行直线5x12y30与10x24y50间的距离是（

）. 2115

A.

B.

C.

D.

131326265．直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是（

）.

A. 4x+y－6=0

B. x+4y－6=0

C. 2x+3y－7=0或x+4y－6=0

D. 3x+2y－7=0或4x+y－6=0 6．两平行直线y2x和y2x5间的距离是

.

7．与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程为

. （二）能力提高

8．（1）已知点A（a，6）到直线3x－4y＝2的距离d=4，求a的值. （2）在直线x3y0求一点P, 使它到原点的距离与到直线x3y20的距离相等.

9. △ABC中，A(3,3),B(2,2),C(7,1). 求∠A的平分线AD所在直线的方程.

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（三）探究创新

10．（02全国卷.文）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．

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