3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课件配套优秀公开课教案设计

3.1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标：1.理解空间向量基本定理和正交分解原理，掌握空间向量的坐标表示，明确空间基底和基向量的含义. 2.会根据图形特点将空间向量用基底表示，进一步掌握空间向量的线性运算. 教学重点：空间向量基本定理

教学难点：空间向量的坐标表示

教学课时：一课时

教学过程：

A. 问题提出

1.平面向量基本定理是什么？

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，

若a＝xi＋yj，则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y). 若将向量a的起点移到坐标原点，则其终点坐标就是向量a的坐标.

3.根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示，我们设想将这个原理类推到空间，并建立空间向量基本定理及其坐标表示. B.知识探究

探究（一）：空间向量基本定理

思考1：设a，b是空间不共线的两个向量，对于空间任意一个向量p，能用向量a，b线性P 表示吗？

uuurC 思考2：设a，b，c是空间不共面的三个向量，作OA=a，

uuuruuuruuurB OB=b，OC=c，OP=p，过点P作PM//CO，

O uuur

交平面AOB于点M，那么向量OM能用向量

M uuuruuurA

OA，OB线性表示吗？

uuuruuur思考3：向量MP与向量OC的位置关系如何？

uuuruuur向量MP用向量OC如何表示？

ruuuuuuruuuruuuruuuruuuruuur思考4：向量OP与OM，MP有什么关系？向量OP与OA，OB，OC有什么关系？

思考5：上述分析表明什么结论？如何用适当的语言阐述？

若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. 思考6：上述结论就是空间向量基本定理，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.那么空间任意三个向量都能构成一个基底吗？零向量能否作基向量？一个基底中的三个基向量是否要起点相同？

思考7：以{a，b，c}为基底，空间所有向量组成的集合如何表示？

{p| p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}. 思考8：对于基底{a，b，c}，设p＝xa＋yb＋zc，当x，y，z至少一个为0时，向量p的位置分别如何？

探究（二）：空间向量的坐标表示

思考1：若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底，在哪些空间几何图形中能找到正交基底和单位正交基底？

思考2：设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 对于空间任意一个向量p，用基底{ e1，e2，e3}可以怎样表示？

思考3：若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称为向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z).对一个给定的向量p，其坐标惟一吗？相等向量的坐标相等吗？

uuur思考4：若向量p＝(x，y，z)，作OP=p，则点P的坐标是什么？

C. 理论迁移

例1 如图，点M、N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，uuuruuuruuuruuuruuur用向量OA，OB，OC表示OP和OQ. r1uuuOB+3r1uuuOB+6r1uuuOC；

3r1uuuOC. 6O M A Q P N C

ruuur1uuu OP=OA+6ruuur1uuuOQ=OA+3

B

例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是CD1，C1D1的中点，

uuuuruuuruuuruuuruuur用基底{AB,AD,AA1}分别表示向量AM和AN.

uuuurruuur1uuur1uuu AM=AB+AD+AA1；

22uuurruuuruuur1uuu AN=AB+AD+AA1.

2

A D1

A1

D N M B1

C B C1

D. 小结作业

1.空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量线性表示，并且基向量的系数是惟一的，它是平面向量基本定理的推广，也是空间向量的合成与分解原理. 2.把空间向量放到空间直角坐标系中进行研究，向量可以用坐标表示，从而使空间向量的几何运算转化为坐标运算，其运算原理下节课再学习.

作业：P94练习：1，2，3.