1.2.1 充要条件教学实录及点评

专题

充分条件、必要条件（教学设计）

1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

1．充分条件、必要条件与充要条件

(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．

(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．

p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．

2．命题的四种形式及真假关系

互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．

【特别提醒】等价命题和等价转化

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

(2)互为逆否命题的两个命题同真假；

(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

高频考点一

四种命题的关系及其真假判断

例1、(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(

) A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A．真、假、真

B．假、假、真

C．真、真、假

D．假、假、假

【感悟提升】(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．学+ 【变式探究】已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(

) A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题

B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题

C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题

D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题

解析

由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1. 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．

答案

D 高频考点二、充分条件与必要条件的判定

例2、(1)函数f(x)在x处导数存在．若p：f′(x)＝0；q：x是f(x)的极值点，则(

) A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件

(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【感悟提升】充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．

【举一反三】(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α

，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．

因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．

答案

A 高频考点三

充分条件、必要条件的应用

例3、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

∵x∈P是x∈S的必要条件，

则S⊆P. 1－m≥－2，∴解得m≤3. 1＋m≤10，又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0. 综上，可知m≥0≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．

【特别提醒】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；

(2)要注意区间端点值的检验．

【变式探究】

ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________．

【2016高考山东理数】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（

）

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

（C）充要条件

【答案】A 【解析】直线a与直线b相交,则,一定相交,若,相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A. 【2016高考天津理数】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的（

）

（A）充要条件

（B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

【答案】C 【解析】由题意得，故是必要不充a2n1a2n0a1(q2n2q2n1)0q2(n1)(q1)0q(,1)，分条件，故选C. 【2016高考上海理数】设aR，则“a1”是“a21”的（

）

（A）充分非必要条件

（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）既非充分也非必要条件

【答案】A 22【解析】a1a1,a1a1或a1，所以是充分非必要条件，选A. 【2015高考湖北，理5】设a1,a2,2q：(a12a2222an1)(a2a3,anR，n3.

若p：a1,a2,2an)(a1a2a2a3,an成等比数列；

an1an)2，则（

）

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【答案】A 【解析】对命题p：a1,a2,①当,anq成等比数列，则公比an(n3)a0an1且n；对命题，an1an)2成立；

an022时，(a1a2222an1)(a2a32an)(a1a2a2a3

②当an0时，根据柯西不等式，等式222an1)(a2a32an)(a1a2a2a32(a12a2an1an)2成立，则aa1a2n1a2a3an，所以a1,a2,,an成等比数列，所以p是的充分条件，但不是的必要条件．

【2015高考天津，理4】设xR

，则“x21

”是“x2x20

”的(

) （A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

【答案】A 2【解析】x211x211x3,xx20x2或x1，所以

2“x21

”是“xx20

”的充分不必要条件，故选A. 【2015高考重庆，理4】“x1”是“log1(x2)0”的（

）

2A、充要条件

B、充分不必要条件

C、必要不充分条件

D、既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】log1(x2)0x21x1，因此选B. 2【2015高考安徽，理3】设p:1x2,q:21，则p是成立的（

）

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

【答案】A x0q:22【解析】由，解得x0，易知，p能推出，但不能推出p，故p是成立的x充分不必要条件，选A. 【2015高考湖南，理2】.设A，B是两个集合，则“AA.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C. BA”是“AB”的（

）

【解析】由题意得，A件，选C. BAAB，反之，ABABA，故为充要条【2014·安徽卷】“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】ln(x＋1)<0⇔0<1＋x<1⇔－1

【2014·北京卷】

设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】当a1<0，q>1时，数列{an}递减；当a1<0，数列{an}递增时，0

直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB1的面积为”的(

) 2A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【2014·湖北卷】U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁UC，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C. 【2014·陕西卷】原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A．真，假，真

B．假，假，真

C．真，真，假

D．假，假，假

【答案】B

【解析】设z1＝a＋bi，z2＝a－bi，且a，b∈R，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，故原命题为真，所以其否命题为假，逆否命题为真．当z1＝2＋i，z2＝－2＋i时，满足|z1|＝|z2|，此时z1，z2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假．

【2014·天津卷】

设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】当ab≥0时，可得a>b与a|a|>b|b|等价．当ab<0时，可得a>b时a|a|>0>b|b|；反之，由a|a|>b|b|知a>0>b，即a>b. 【2014·浙江卷】

已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

22a－b＝0，a＝1，【解析】由a，b∈R，(a＋bi)＝a－b＋2abi＝2i, 得所以或2ab＝2，b＝1222a＝－1，故选A. b＝－1.【2014·重庆卷】已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0，q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(

) A．p∧q

B．綈p∧綈q

C．綈p∧q

D．p∧綈q

【答案】D

【解析】根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．

1．设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(

) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 解析

根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

答案

D 2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．

答案

A 3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

m⊂α，m∥β⇒/

α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．

答案

B 14．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的(

) xA．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．下列结论错误的是(

) A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”

B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件

C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”

解析

C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，

1即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题．

4答案

C 6．设x∈R，则“1

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

由|x－2|<1，得1

1

答案

A 7．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(

) A．1，＋∞)

B．(－∞，1] C．－1，＋∞)

D．(－∞，－3] 解析

由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1. 答案

A 8．已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

由ln a>ln b⇒a>b>0⇒a>b，故必要性成立．

当a＝1，b＝0时，满足a>b，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立．

答案

B 9．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

10．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．

解析

cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，

即cos α＝±sin α. 由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．

∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．

答案

充分不必要

11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

解析

令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

a>0，∴解得0

(0，3) 12．有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2

其中真命题的序号是________．

解析

①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．

答案

②③

1＜2x＜8，x∈R，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的13．已知集合A＝x2一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

14．下列四个结论中正确的是________(填序号)．

①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；

②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x∈R，sin x>1”；

π③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；

4④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0. 解析

①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误．

对于②，命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x∈R，sin x>1”，故②正确．

ππ对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为假命题，故③44错误．

1对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log32，

log23∴log32与log23不互为相反数，故④错误．

答案

②