2.3 抛物线（通用）名师教学设计2

抛物线的焦点弦的性质（学案）

【学习目标】：

1.熟练掌握抛物线的定义及其几何性质；

2.理解抛物线的焦点弦与通径的概念，能运用数形结合，化归与转化等数学思想方法求解抛物线的相关问题；

3.培养学生分析、探索、类比和归纳的能力；

4.培养学生用联系的辨证的观点分析问题和解决问题的能力。

【学习重点】：抛物线的焦点弦性质的探索与应用

【学习难点】：抛物线的焦点弦性质的证明

【学习过程】：

一、【自主学习】：

1、根据你所学过的抛物线的几何性质填写下表：

2、连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。

二、【合作探究】：

（一）过抛物线y2px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，线段AB叫做抛物线的焦点弦，如图，设AB为焦点弦.点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

1.焦点弦AB的长如何计算？

2、由焦点弦长公式得

2|AB|x1+x2p=+，这个等式的几何意义是什么？

222

（二）经过抛物线y22px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，如图，设AB为焦点弦.点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线的方程为xtyp（这样设有什么优点？），代入抛物线y22px

2中，整理得，y22ptyp20

思考：

1.A、B两点的纵坐标y1与y2有什么确定关系？A、B两点的横坐标x1与x2有什么关系？

2.通过焦点且垂直对称轴的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径；则抛物线的焦点弦AB的长是否存在最小值？若存在，其最小值为多少？

3、过点A、B作准线的垂线，垂足分别为C、D，则△ACF 和△BDF都是等腰三角形，那么∠CFD的大小如何？

2【归纳】：过抛物线y=2px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，焦点弦AB具有如下性质.

1ABx1x2p2AB有最小值,为通径长2p;

p23y1y2p,x1x2;44以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;25DFC90三、【展示交流】：

例1 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点C，求证：直线BC平行于抛物线的对称轴.

例2. 如图，经过抛物线y22px的焦点F作直线交

抛物线于A、B两点，求证：

112+=

|AF||BF|p

四、【小结与点评】：

1.抛物线有许多几何性质，探究抛物线的几何性质，可作为一个研究性学习课题，其中焦点弦性质中的有些结论会对解题有一定的帮助.

22.焦点弦性质y1y2＝－p是对焦点在x轴上的抛物线而言的，对焦点在y轴上的抛物线，类似地有x1x22＝－p.

3．抛物线焦点弦问题的解法：

(1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解．

(2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解．

(3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式，但由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1＋x2＋p，同时由弦长x1＋x2＋p≥2x1x2＋p＝2p知，通径是所有弦中最短的弦．

五、【目标检测】：

1．已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则关系式

y1y2的值一定等x1x2于 （ ）

A．4p

2B．－4p C．p 2 D．－p 2.过抛物线y=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y

1) ，B(x2, y

2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ）A．8 B．10 C．6 D．423．已知抛物线y＝4x的焦点为F，过F的直线与该抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y1＋y2的最小值是(

) A．4 B．8 C．12 D．16

六、【课外作业】：

1. 从抛物线y4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（ ）

A．5 B．10 C．20 2222D．15

2.已知定点A（3，4），点P为抛物线y=4x上一动点，点P到直线x=－1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（ ）

A．25 B．2 C．

42 D．

45

3.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ） 2 2 2 2 2 A．

y=-2x

B．

y=-4x C．

y=2x D．

y=-4x或y=-36x

524.已知抛物线C：y＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(

) 4A.4 B.2

C.1 D.8 （

）

5．抛物线y22px(p0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点，F是它的焦点，若AF,BF,CF

成等差数列，则

A．x1,x2,x3成等差数列

B．x1,x3,x2成等差数列

C．y1,y2,y3成等差数列

D．y1,y3,y2成等差数列

6．已知直线yx2与抛物线y22x相交于A,B两点,求证:OAOB

证明：

将yx2代人y2x中，化简得x6x40.

22x1x26,x1x24.

y1y2(x12)(x22)x1x22(x1x2)44.

kOAkOBy1y21,OAOB.

x1x2七、【课外探究】：过抛物线y22px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，如图，设AB为焦点弦.点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

（1）.你能从图中找到

y1y2=-p2的几何解释吗？

（2）.设点M为抛物线准线与x轴的交点，则∠AMF与∠BMF的大小关如何？

（3）.三点A、O、D与B、O、C共线吗？

4.ABt21x1x2y1y2y1y2222t2y1y2y1y2224y1y2t214p2t24p22p1t2,设直线AB的倾斜角为,

则AB与有什么关系?

(备用)例3:设A,B是抛物线y2=2pxp>0上的两点,且满足OA⊥OBO为坐标原点,求证:直线AB经过一个定点.y12y22解:设点A的坐标为,y1,点B的坐标为,y2,则

2p2p直线AB的斜率是

y12因直线AB经过点A,y1,代入点斜式方程,得2p

将AB的方程整理为y

∴直线AB经过一个定点________.

注：本题有多种证明方法，请同学们课后再思考。